(6,0) Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade e resolvas-as pelo método que achar mais apropriado:
y{\prime}+\frac{y}{x}-y{2}=-\frac{1}{x^{2}} Esta é uma equação de Riccatti. Uma solução particular é y=1x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
y' + yx - y^2 = -1x^2
É uma equação de primeira ordem, não linear (aparece y^2) e do tipo Riccati. Foi dada uma solução particular
yp(x)=1x,
e vamos usar a transformação padrão para Riccati.

Passo 2

Fazemos a substituição
y = yp + 1v = 1x + 1v
Calculando a derivada temos
y' = -1x^2 - v'v^2
Substituindo na equação original e cancelando termos em -1/x^2, chega-se a
v' + 1x,v = -1,
que é uma equação linear de primeira ordem para v(x).

Passo 3

Para resolver
v' + 1xv = -1
calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral1x,dxr) = x
Multiplicando a equação por x fica
x,v' + v = -x Longrightarrow ddx(xv) = -x
Integrando,
xv = -x^22 + C Longrightarrow v = -x2 + Cx

Passo 4

Retornando a y,
y = 1x + 1v = 1x + 1-tfracx2 + tfracCx = 1x - 2xx^2 + K,
onde definimos K=-2C. Colocando em forma única,
y(x) = K - x^2x,l(x^2 + Kr)

Resposta

A equação é ordinária de primeira ordem, não linear (Riccati).
A solução geral é
y(x) = K - x^2x,(x^2 + K),
com K constante arbitrária.

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