Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade e resolvas-as pelo método que achar mais apropriado:
y{\prime}+\frac{y}{x}-y{2}=-\frac{1}{x^{2}} Esta é uma equação de Riccatti. Uma solução particular é
y{\prime}+\frac{y}{x}-y{2}=-\frac{1}{x^{2}} Esta é uma equação de Riccatti. Uma solução particular é
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
É uma equação de primeira ordem, não linear (aparece
) e do tipo Riccati. Foi dada uma solução particular
e vamos usar a transformação padrão para Riccati.
Passo 2
Fazemos a substituição
Calculando a derivada temos
Substituindo na equação original e cancelando termos em
, chega-se a
que é uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 3
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
fica
Integrando,
Passo 4
Retornando a
,
onde definimos
. Colocando em forma única,
Resposta
A equação é ordinária de primeira ordem, não linear (Riccati).
A solução geral é
A solução geral é
com
constante arbitrária.