A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
O termo do lado direito é a constante 4\pi^{2}+5\pi.
Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0.]
Passo 2
Vamos primeiro resolver a parte homogênea associada (ou seja, apagar o termo do lado direito) e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. A equação homogênea é
y''+2y'+2y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+2r+2=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Calcula-se o discriminante:
\Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot2=4-8=-4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=-1\pm i.
Quando as raízes são r=-1\pm i, a forma geral da solução da homogênea é
y_{h}(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando: o fator e^{-t} vem da parte real -1 e as funções \cos t e \sin t vêm da parte imaginária 1.
Passo 3
Agora achamos uma solução particular y_{p} da equação completa
y''+2y'+2y=4\pi^{2}+5\pi.
O lado direito é uma constante. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular constante:
y_{p}(t)=K,
onde K é uma constante a determinar. Substituindo na equação:
Observação didática curta: escolhemos y_{p} constante porque o forçamento é constante; isso é válido porque constantes não são soluções da homogênea (a homogênea tem fator e^{-t}), então não há conflito de ressonância.
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)+\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}.
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.