Resolve a P.V.I
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=4 \pi^{2}+5 \pi \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
\begin{aligned} & y(0)=1 \\\ & y^{\prime}(0)=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede resolver a P.V.I. (problema de valor inicial) dada por
\left\{\begin{array}{l} y''+2y'+2y=4\pi^{2}+5\pi,\\[4pt] y(0)=1,\\[4pt] y'(0)=0. \end{array}\right.
Informações dadas (resumindo):
  • A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito é a constante 4\pi^{2}+5\pi.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0.]

Passo 2

Vamos primeiro resolver a parte homogênea associada (ou seja, apagar o termo do lado direito) e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. A equação homogênea é
y''+2y'+2y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+2r+2=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Calcula-se o discriminante:
\Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot2=4-8=-4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=-1\pm i.
Quando as raízes são r=-1\pm i, a forma geral da solução da homogênea é
y_{h}(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando: o fator e^{-t} vem da parte real -1 e as funções \cos t e \sin t vêm da parte imaginária 1.

Passo 3

Agora achamos uma solução particular y_{p} da equação completa
y''+2y'+2y=4\pi^{2}+5\pi.
O lado direito é uma constante. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular constante:
y_{p}(t)=K,
onde K é uma constante a determinar. Substituindo na equação:
y_{p}''=0,\qquad y_{p}'=0,\qquad \text{logo}\quad 0+0+2K=4\pi^{2}+5\pi.
Assim
2K=4\pi^{2}+5\pi\quad\Rightarrow\quad K=\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}.
Observação didática curta: escolhemos y_{p} constante porque o forçamento é constante; isso é válido porque constantes não são soluções da homogênea (a homogênea tem fator e^{-t}), então não há conflito de ressonância.

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)+\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}.

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro calcule y(0). Como \cos0=1 e \sin0=0,
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cdot1 + C_{2}\cdot0\big)+\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}=C_{1}+\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}.
A condição y(0)=1
C_{1}+\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1-\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}.
Agora precisamos de y'(t). Vamos derivar y(t). Defina u(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t. Então y_{h}(t)=e^{-t}u(t). Calculando
u'(t)=-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t.
Pelo produto,
y_{h}'(t)=\big(e^{-t}\big)'u(t)+e^{-t}u'(t)=-e^{-t}u(t)+e^{-t}u'(t)=e^{-t}\big(u'(t)-u(t)\big).
Substituindo u e u':
y_{h}'(t)=e^{-t}\Big((-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t)-(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t)\Big).
Agrupando termos:
y_{h}'(t)=e^{-t}\Big((C_{2}-C_{1})\cos t - (C_{1}+C_{2})\sin t\Big).
Como y_{p} é constante, y_{p}'(t)=0. Portanto
y'(t)=y_{h}'(t)=e^{-t}\Big((C_{2}-C_{1})\cos t - (C_{1}+C_{2})\sin t\Big).
Avalie em t=0 (onde \cos0=1,\\ \sin0=0):
y'(0)=(C_{2}-C_{1})\cdot 1 = C_{2}-C_{1}.
A condição y'(0)=0
C_{2}-C_{1}=0\quad\Rightarrow\quad C_{2}=C_{1}.

Passo 6

Usando C_{2}=C_{1} e C_{1}=1-\dfrac{4\pi^{2}+5\pi}{2}, obtemos
C_{1}=C_{2}=1-\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}.
Substituindo na solução geral:
y(t)=e^{-t}\Big( \big(1-\dfrac{4\pi^{2}+5\pi}{2}\big)\cos t + \big(1-\dfrac{4\pi^{2}+5\pi}{2}\big)\sin t\Big)+\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}.
Fatorando o coeficiente comum:
y(t)=\Big(1-\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}\Big)e^{-t}(\cos t+\sin t)+\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}.

Resposta

y(t)=\Big(1-\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}\Big)e^{-t}(\cos t+\sin t)+\frac{4\pi^{2}+5\pi}{2}

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