Classifique as equaçōes abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
a) y y^prime+t=0
b) x^2 y^prime prime+x^3 y^prime+c(x) y=0, onde b in R;
c) f^prime(t)=2 t f(t)+t;
d) d f(x, y)d y-2 x f(x, y)+x=0;

Passo 1

A questão pede para a gente classificar cada equação diferencial segundo três critérios: o tipo (se é equação diferencial ordinária – EDO – ou parcial – EDP), a ordem (a maior derivada que aparece) e a linearidade (se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por coeficientes que não dependem delas e sem produtos entre si). Para isso, vamos usar estes passos em todas as equações: identificar as variáveis e as derivadas para o tipo; ver qual é a derivada de maior ordem para a ordem; e verificar se há produtos entre a função e suas derivadas ou coeficientes que dependem delas para a linearidade.

Passo 2

Analisando a equação y,y' + t = 0: aqui só aparece a derivada de y em relação a t, então é uma EDO; a maior derivada é y', de ordem 1; como temos o produto ycdot y', a equação é não linear.

Passo 3

Na equação x^2y'' + x^3y' + c(x)y = 0: novamente só aparece derivada em relação a x, é uma EDO; a maior derivada é y'', de ordem 2; e não há produto entre y ou suas derivadas, todas aparecem multiplicadas por funções de x (ou seja, coeficientes que não dependem de y), logo é linear.

Passo 4

Para f'(t) = 2t,f(t) + t: é EDO em relação a t; a maior derivada é f', de ordem 1; e f e f' aparecem só multiplicadas por funções de t, sem produtos entre si, então é linear.

Passo 5

Na última d f(x,y)d y - 2x,f(x,y) + x = 0: a função depende de x e y e temos derivada em relação a y, então é uma EDP de primeira ordem; só aparece f e sua derivada multiplicadas por funções de x, sem produtos entre elas, logo é linear.

Resposta

a) EDO de ordem 1, não linear
b) EDO de ordem 2, linear
c) EDO de ordem 1, linear
d) EDP de ordem 1, linear

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