Seja
uma superficie tal que os coeficientes da primeira forma quadrática são
. Prove que duas curvas coordenadas da forma
determinam segmentos de mesmo comprimento nas curvas
constante. Verifique que esta propriedade é satisfeita por toda superficie da forma
onde
é uma função diferenciável.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma superfície parametrizada por X(u,v) cuja primeira forma fundamental é dada por E=1, F=0 e G= h(u,v). Precisamos mostrar que, para duas curvas coordenadas u = u₁ e u = u₂, os segmentos definidos sobre qualquer curva v = constante têm o mesmo comprimento, e depois verificar essa propriedade na superfície X(u,v) = (u cos v, u sen v, f(v)).
Passo 2
Numa curva v = constante, temos dv = 0. A forma de arco ds² = E du² + 2F du dv + G dv² reduz-se a ds² = E du². Como E = 1, segue que ds = √E du = du.
Passo 3
O comprimento do segmento da curva v = constante entre u = u₁ e u = u₂ é
que não depende de qual v escolhemos. Logo, os segmentos têm sempre o mesmo comprimento.
Passo 4
Para X(u,v) = (u cos v, u sen v, f(v)) calculamos os vetores tangentes:
Passo 5
Então
Passo 6
Como E = 1 e F = 0, a propriedade fica garantida nesta superfície também.
Resposta
O comprimento de qualquer segmento entre u = u₁ e u = u₂ em curvas v = constante é L = u₂ – u₁. Na superfície dada, E=1, F=0 e G(u,v)=u²+[f’(v)]², logo a propriedade vale.