Seja X(u, v) uma superficie tal que os coeficientes da primeira forma quadrática são E=1, F=0, G(u, v)=h(u, v). Prove que duas curvas coordenadas da forma X(u1, v), X(u2, v) determinam segmentos de mesmo comprimento nas curvas v constante. Verifique que esta propriedade é satisfeita por toda superficie da forma
X(u, v)=(u cos v, u sen v, f(v))
onde f é uma função diferenciável.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma superfície parametrizada por X(u,v) cuja primeira forma fundamental é dada por E=1, F=0 e G= h(u,v). Precisamos mostrar que, para duas curvas coordenadas u = u₁ e u = u₂, os segmentos definidos sobre qualquer curva v = constante têm o mesmo comprimento, e depois verificar essa propriedade na superfície X(u,v) = (u cos v, u sen v, f(v)).

Passo 2

Numa curva v = constante, temos dv = 0. A forma de arco ds² = E du² + 2F du dv + G dv² reduz-se a ds² = E du². Como E = 1, segue que ds = √E du = du.

Passo 3

O comprimento do segmento da curva v = constante entre u = u₁ e u = u₂ é
L = integralu1^u2 ds = integralu1^u2 du = u2 - u1,
que não depende de qual v escolhemos. Logo, os segmentos têm sempre o mesmo comprimento.

Passo 4

Para X(u,v) = (u cos v, u sen v, f(v)) calculamos os vetores tangentes:
Xu = (cos v,;sin v,;0),
Xv = (-usin v,;ucos v,;f'(v))

Passo 5

Então
E = Xucdot Xu = cos^2v + sin^2v = 1,
F = Xucdot Xv = -ucos vsin v + usin vcos v = 0,
G = Xvcdot Xv = u^2(sin^2v+cos^2v) + [f'(v)]^2 = u^2 + [f'(v)]^2

Passo 6

Como E = 1 e F = 0, a propriedade fica garantida nesta superfície também.

Resposta

O comprimento de qualquer segmento entre u = u₁ e u = u₂ em curvas v = constante é L = u₂ – u₁. Na superfície dada, E=1, F=0 e G(u,v)=u²+[f’(v)]², logo a propriedade vale.

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