Usando coordenadas polares na qual f(z)=u(r, theta)+i v(r, theta) e z=r e^i theta, encontre as equações de Cauchy-Riemann nessas coordenadas e verifique também se as seguintes funções são analíticas:
raiz2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares, ou seja, expressar as condições de analiticidade de f(z)=u(r,θ)+i v(r,θ) com z=r e^{iθ}. Vamos usar a relação entre ∂/∂r, ∂/∂θ e ∂/∂x, ∂/∂y, além das equações de Cauchy–Riemann em x,y.

Passo 2

Em cartesianas temos as equações de Cauchy–Riemann: u_x = v_y e u_y = -v_x. Para converter para polares aplicamos a regra da cadeia:
Usando x = r cosθ e y = r sinθ obtemos
ur = ux cosθ + uy sinθ,
uθ = -r ux sinθ + r uy cosθ,
e análoga para v. Substituindo u_x = v_y e u_y = -v_x nessas expressões e comparando com as derivadas de v, chegamos a:
ur = 1r,vθ,
vr = -1r,uθ

Passo 3

Portanto, as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são exatamente essas.

Passo 4

Para verificar se f(z)=\sqrt{2} é analítica basta notar que u(r,θ)=\sqrt{2} e v(r,θ)=0 são constantes. Logo u_r=u_θ=v_r=v_θ=0, que satisfaz trivialmente
ur=tfrac1rvθ e vr=-tfrac1ruθ

Resposta

As equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são:
ur = 1r,vθ, vr = -1r,uθ
A função f(z)=raiz2 satisfaz essas condições em todo o plano e, portanto, é analítica em C.

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