Usando coordenadas polares na qual
e
, encontre as equações de Cauchy-Riemann nessas coordenadas e verifique também se as seguintes funções são analíticas:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares, ou seja, expressar as condições de analiticidade de f(z)=u(r,θ)+i v(r,θ) com z=r e^{iθ}. Vamos usar a relação entre ∂/∂r, ∂/∂θ e ∂/∂x, ∂/∂y, além das equações de Cauchy–Riemann em x,y.
Passo 2
Em cartesianas temos as equações de Cauchy–Riemann: u_x = v_y e u_y = -v_x. Para converter para polares aplicamos a regra da cadeia:
Usando x = r cosθ e y = r sinθ obtemos
Usando x = r cosθ e y = r sinθ obtemos
e análoga para v. Substituindo u_x = v_y e u_y = -v_x nessas expressões e comparando com as derivadas de v, chegamos a:
Passo 3
Portanto, as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são exatamente essas.
Passo 4
Para verificar se f(z)=\sqrt{2} é analítica basta notar que u(r,θ)=\sqrt{2} e v(r,θ)=0 são constantes. Logo u_r=u_θ=v_r=v_θ=0, que satisfaz trivialmente
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são:
A função
satisfaz essas condições em todo o plano e, portanto, é analítica em
.