Classifique as equaçōes abaixo em Ricatti, Clairaut e Bernoulli e encontre a solução para uma das alternativas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Além disso, foi dado que
é uma solução dessa equação. O conteúdo que vamos usar aqui envolve as classificações das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente Riccati, Clairaut e Bernoulli. Nosso objetivo é classificar a equação e encontrar a solução para uma das classes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são essas classes de equações:
- Equação de Riccati: Tem a forma geral
ou seja, é uma equação quadrática em
.
- Equação de Clairaut: Tem a forma
onde existe uma relação linear entre
e sua derivada.
- Equação de Bernoulli: É uma equação não-linear que pode ser transformada em uma equação linear através de uma substituição, geralmente da forma
onde
é um número real.
Passo 3
Agora, vamos comparar a equação dada com as formas acima para classificá-la.
A equação que temos é:
Observando, vemos que temos um termo constante
, um termo linear em
com coeficiente
, e um termo quadrático em
.
Isso corresponde exatamente à forma da Equação de Riccati, pois é uma equação quadrática em
.
Passo 4
Agora que classificamos a equação como uma Equação de Riccati, vamos buscar a solução. Sabemos que
é uma solução particular.
Para resolver a Equação de Riccati, podemos usar a solução particular para fazer uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. A substituição é:
onde
é uma nova função a ser determinada.
Passo 5
Vamos substituir
na equação original.
Primeiro, calculamos
:
Substituindo na equação:
Passo 6
Simplificando a equação:
Vamos reorganizar os termos e simplificar:
Os termos sem
e
se cancelam devido à escolha da solução particular. O que sobra é uma equação linear para
.
Passo 7
Após simplificar, obtemos:
Integrando ambos os lados:
ou seja,
Passo 8
Lembrando que
, substituímos
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é uma constante arbitrária.