Classifique as equaçōes abaixo em Ricatti, Clairaut e Bernoulli e encontre a solução para uma das alternativas.
d yd x=e^x+(1+2 e^x) y+y^2, y1=-e^x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
d yd x = e^x + (1 + 2 e^x) y + y^2
Além disso, foi dado que é uma solução dessa equação. O conteúdo que vamos usar aqui envolve as classificações das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente Riccati, Clairaut e Bernoulli. Nosso objetivo é classificar a equação e encontrar a solução para uma das classes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são essas classes de equações:
  1. Equação de Riccati: Tem a forma geral
d yd x = q0(x) + q1(x) y + q2(x) y^2
ou seja, é uma equação quadrática em y = x d yd x + f( d yd x ) .
  1. Equação de Clairaut: Tem a forma
d yd x + P(x) y = Q(x) y^n
onde existe uma relação linear entre e sua derivada.
  1. Equação de Bernoulli: É uma equação não-linear que pode ser transformada em uma equação linear através de uma substituição, geralmente da forma
onde é um número real.

Passo 3

Agora, vamos comparar a equação dada com as formas acima para classificá-la.
A equação que temos é:
d yd x = e^x + (1 + 2 e^x) y + y^2
Observando, vemos que temos um termo constante , um termo linear em com coeficiente , e um termo quadrático em .
Isso corresponde exatamente à forma da Equação de Riccati, pois é uma equação quadrática em .

Passo 4

Agora que classificamos a equação como uma Equação de Riccati, vamos buscar a solução. Sabemos que y = y1 + 1z é uma solução particular.
Para resolver a Equação de Riccati, podemos usar a solução particular para fazer uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. A substituição é:
onde é uma nova função a ser determinada.

Passo 5

Vamos substituir d yd x = -e^x + ( -1z^2 d zd x ) na equação original.
Primeiro, calculamos - e^x - 1z^2 d zd x = e^x + (1 + 2 e^x) ( -e^x + 1z ) + ( -e^x + 1z )^2 :
Substituindo na equação:

Passo 6

Simplificando a equação:
- e^x - 1z^2 d zd x = e^x - (1 + 2 e^x) e^x + (1 + 2 e^x) 1z + e^2x - 2 e^xz + 1z^2
Vamos reorganizar os termos e simplificar:
Os termos sem e se cancelam devido à escolha da solução particular. O que sobra é uma equação linear para .

Passo 7

Após simplificar, obtemos:
- d zd x = 1
Integrando ambos os lados:
- z = x + C
ou seja,
z = -x - C

Passo 8

Lembrando que y = -e^x + 1-x - C = -e^x - 1x + C , substituímos :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = -e^x - 1x + C
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados