Considere o sistema não homogeneo de equaçőes lineares
l x1^prime=x1-x2+e^-2 t x2^prime=-5 x1-3 x2-3 e^-2 t
Encontre a solução satisfazendo as condições x1(0)=-1 e x2(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não homogêneo de EDOs de primeira ordem
x1' = x1 - x2 + e^-2t x2' = -5x1 - 3x2 -3e^-2t
com condições iniciais x1(0)=-1 e x2(0)=2. O conteúdo aqui é sistemas lineares não homogêneos, onde a solução geral é
x(t)=xh(t)+xp(t)
(componente homogênea + componente particular).

Passo 2

Começamos pela parte homogênea associada x'=Ax, em que
A=1 & -1-5 & -3
Achar autovalores resolvendo
det(A-lambda I)=det1-lambda & -1-5 & -3-lambda=0
leva a
(1-lambda)(-3-lambda)-(-1)(-5)=lambda^2+2lambda-8=0
com raízes lambda1=2 e lambda2=-4. Para lambda1=2 obtemos vetor próprio (1,-1) e para lambda2=-4 o vetor (1,5). Assim,
xh(t)=c11-1e^2t+c215e^-4t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular. Como o termo não homogêneo é
b(t)=e^-2t-3e^-2t,
palpita-se
xp(t)=u,e^-2t,
com u constante. Derivando e inserindo em x'=Ax+b gera
-2u = A,u + 1-3,
o que equivale a
(-2I - A)u =1-3,
onde
-2I - A=-3 & 15 & 1
Resolvendo esse sistema achamos
u=-tfrac12-tfrac12,
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xp(t)=-tfrac12-tfrac12e^-2t

Passo 4

A solução geral é
x(t)=c11-1e^2t+c215e^-4t+-tfrac12-tfrac12e^-2t
Impondo x(0)=(-1,2) obtemos o sistema
c1+c2-tfrac12=-1-c1+5c2-tfrac12=2
cuja solução é
c1=-tfrac56 e c2=tfrac13. Substituindo na expressão geral chega-se à resposta.

Passo 5

Resposta

x1(t)=-tfrac56e^2t+tfrac13e^-4t-tfrac12e^-2t, x2(t)=tfrac56e^2t+tfrac53e^-4t-tfrac12e^-2t

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