Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função a seguir
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
. Nosso objetivo é determinar o domínio (todos os valores de
que a função aceita), a imagem (todos os possíveis valores que
pode assumir) e esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender como a função seno funciona e como transformações afetam seu domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
é definida para todo número real
, porque podemos elevar qualquer número ao quadrado e depois aplicar a função seno normalmente. Não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos aqui.
Portanto, o domínio de
é:
ou seja, todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que
pode assumir.
Sabemos que a função seno varia entre -1 e 1, ou seja:
Quando subtraímos 1 dessa função, todo o intervalo se desloca 1 unidade para baixo:
Assim, a imagem de
é:
Passo 4
Vamos agora esboçar o gráfico da função
.
-
Função Base: Começamos com a função
. Essa é uma função oscilante como o seno comum, mas com a frequência das oscilações aumentando conforme aumenta, porque o argumento cresce mais rápido. -
Transformação Vertical: Subtrair 1 de
significa que todo o gráfico da função seno será movido 1 unidade para baixo. -
Comportamento:
- No ponto
, temos . - Conforme
aumenta, as oscilações de ficam mais comprimidas horizontalmente devido ao no argumento. - A função nunca ultrapassa
e nunca vai abaixo de , conforme definido pela imagem.
- No ponto
Esboço do Gráfico:
- O gráfico oscila entre -2 e 0.
- As ondas do seno ficam mais próximas umas das outras conforme nos afastamos do centro (x=0).
- A linha média do gráfico está em
.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais). - Imagem:
. - Gráfico: Uma função oscilante entre -2 e 0, com ondas de seno cada vez mais próximas conforme
aumenta, deslocada 1 unidade para baixo.