Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função a seguir
f(x)=sin x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função . Nosso objetivo é determinar o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os possíveis valores que pode assumir) e esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender como a função seno funciona e como transformações afetam seu domínio e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de Df = R para os quais a função está definida.
A função é definida para todo número real , porque podemos elevar qualquer número ao quadrado e depois aplicar a função seno normalmente. Não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos aqui.
Portanto, o domínio de é:
ou seja, todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis que -1 <= sin(x^2) <= 1 pode assumir.
Sabemos que a função seno varia entre -1 e 1, ou seja:
-1 - 1 <= sin(x^2) - 1 <= 1 - 1
Quando subtraímos 1 dessa função, todo o intervalo se desloca 1 unidade para baixo:
-2 <= f(x) <= 0
If = [-2, 0]
Assim, a imagem de é:

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico da função .
  1. Função Base: Começamos com a função . Essa é uma função oscilante como o seno comum, mas com a frequência das oscilações aumentando conforme aumenta, porque o argumento cresce mais rápido.
  2. Transformação Vertical: Subtrair 1 de significa que todo o gráfico da função seno será movido 1 unidade para baixo.
  3. Comportamento:
    • No ponto , temos .
    • Conforme aumenta, as oscilações de ficam mais comprimidas horizontalmente devido ao no argumento.
    • A função nunca ultrapassa e nunca vai abaixo de , conforme definido pela imagem.
Esboço do Gráfico:
  • O gráfico oscila entre -2 e 0.
  • As ondas do seno ficam mais próximas umas das outras conforme nos afastamos do centro (x=0).
  • A linha média do gráfico está em .

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais).
  • Imagem: .
  • Gráfico: Uma função oscilante entre -2 e 0, com ondas de seno cada vez mais próximas conforme aumenta, deslocada 1 unidade para baixo.

Exercícios relacionados