Escreva a função abaixo em termos da função de Heaviside uc(t) e calcule a sua Transformada de Laplace:
f(t)= 0, & 0 <= t<3 -2, & 3 <= t<5 2, & 5 <= t<7 1, & t >= 7

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(t)=0 para 0≤t<3, f(t)=-2 para 3≤t<5, f(t)=2 para 5≤t<7 e f(t)=1 para t≥7. Estamos na matéria de Transformada de Laplace de funções descontínuas e vamos usar a função de Heaviside uc(t) e a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace.

Passo 2

Para escrever f(t) em termos de uc(t), observamos os saltos:
  • Em t=3: 0→–2 (salto de –2)
  • Em t=5: –2→2 (salto de +4)
  • Em t=7: 2→1 (salto de –1)
    Logo, cada salto gera um termo do tipo constante vezes u(t-c). Assim temos:
f(t) = -2,u3(t) + 4,u5(t) - 1,u7(t)

Passo 3

Para calcular a Transformada de Laplace, usamos a propriedade
Luc(t) = e^-css
e a linearidade. Então cada termo gera
L-2,u3(t) = -2,e^-3ss, L4,u5(t) = 4,e^-5ss, L-1,u7(t) = -1,e^-7ss

Passo 4

Somando os termos, obtemos a Transformada de Laplace de f(t):
F(s) = -2e^-3ss + 4e^-5ss - e^-7ss

Resposta

F(s)= -2e^-3ss + 4e^-5ss - e^-7ss

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