Classifique as equações diferenciais ordinárias abaixo quanto à ordem, o grau e a linearidade:
a) x^2 y^prime prime+x y^prime+2 y=sen x
b) y y^prime+2 y=1+x^2
c) (1+y^2) d^2 yd x^2+x d yd x+y=e^x
d) y^prime prime-6 y^prime+13 y=cos x
e) (sin theta) y^prime prime prime-(cos theta) y^prime=2

Passo 1

O enunciado pede para classificar cinco equações diferenciais ordinárias quanto à ordem (derivada mais alta presente), ao grau (expoente da derivada mais alta quando a EDO estiver num polinômio livre de radicais e denominadores) e à linearidade (se y e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e sem produtos entre si). Vamos usar essas definições para resolver.

Passo 2

Para a equação x^2y''+xy'+2y=sin x: a derivada mais alta é y'', logo a ordem é 2. Aparece y'' à primeira potência e sem denominadores, então o grau é 1. Como y, y' e y'' aparecem somente em primeira potência e não se multiplicam entre si, a equação é linear.

Passo 3

Para a equação y,y'+2y=1+x^2: a derivada mais alta é y', logo a ordem é 1. Em forma polinomial, y' está à primeira potência, então o grau é 1. Contudo, há o produto y,y', caracterizando não linearidade.

Passo 4

Para a equação (1+y^2),y''+x,y'+y=e^x: a derivada mais alta é y'', então a ordem é 2. Está à primeira potência, logo grau 1. Mas o coeficiente 1+y^2 depende de y, e isso torna a EDO não linear.

Passo 5

Para a equação y''-6y'+13y=cos x: a derivada mais alta é y'', de ordem 2. Aparece à potência 1, grau 1. Os termos são lineares em y, y', y'', logo a equação é linear.

Passo 6

Para a equação (sintheta),y'''-(costheta),y'=2: a derivada mais alta é y''', de ordem 3. Está à primeira potência, grau 1. Os coeficientes dependem só da variável independente theta e não há produtos entre derivadas ou com y, então é linear.

Resposta

a) ordem 2, grau 1, linear
b) ordem 1, grau 1, não linear
c) ordem 2, grau 1, não linear
d) ordem 2, grau 1, linear
e) ordem 3, grau 1, linear

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