Classifique as equações diferenciais ordinárias a seguir quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a equação diferencial ordinária $ y’ = 1 + y^2 $ quanto à ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes. Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos de equações diferenciais.
Passo 2
Ordem: A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Aqui, a equação tem $ y’ $, que é a primeira derivada de $ y $ em relação a $ x $. Então, a ordem é 1.
Passo 3
Linearidade: Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita na forma $ a(x)y’ + b(x)y = c(x) $, onde $ a(x) $, $ b(x) $ e $ c(x) $ são funções de $ x $. Na nossa equação, temos $ y’ = 1 + y^2 $. O termo $ y^2 $ torna a equação não linear, porque a variável $ y $ está elevada ao quadrado.
Passo 4
Homogeneidade: Para equações lineares, uma equação é homogênea se $ c(x) = 0 $. Mas como nossa equação já não é linear, essa classificação fica um pouco fora do padrão. No contexto de equações não lineares, podemos dizer que ela é não homogênea devido ao termo constante 1.
Passo 5
Coeficientes: Coeficientes são os termos que multiplicam as derivadas ou a função $ y $ na equação. Se esses coeficientes forem funções de $ x $, dizemos que a equação tem coeficientes variáveis; se forem constantes, temos coeficientes constantes. Na nossa equação $ y’ = 1 + y^2 $, os coeficientes são constantes.
Resposta
A equação diferencial $ y’ = 1 + y^2 $ é de primeira ordem, não linear, não homogênea e possui coeficientes constantes.