Seja ABCD um quadrado de lado ell. Sabendo-se que K é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P do plano definido por ABCD aos vértices de ABCD , determine:
O lugar geométrico do ponto P para K=4 ell^2.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico do ponto P no plano de um quadrado ABCD de lado ell tal que a soma dos quadrados das distâncias de P aos vértices satisfaça K=4ell^2. Isso cai em Geometria Analítica, usando lugares geométricos e a soma de quadrados de distâncias a pontos fixos.

Passo 2

Para resolver, usamos a seguinte propriedade (válida para qualquer conjunto de n pontos Ai e seu centro médio O):
sumi=1^n PAi^2 = n,PO^2 + sumi=1^n OAi^2
Aqui temos n=4 vértices do quadrado e O é o ponto de intersecção das diagonais.

Passo 3

Precisamos calcular sum OAi^2 para o quadrado. Como O é o centro, cada vértice está à distância
OA = ellraiz2
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sumi=1^4 OAi^2 = 4cdot l(ellraiz2r)^2 = 4cdot ell^22 = 2ell^2

Passo 4

Substituindo na fórmula geral, obtemos
K = sum PAi^2 = 4,PO^2 + 2ell^2
Impondo K=4ell^2, temos
4,PO^2 + 2ell^2 = 4ell^2 $$\Longrightarrow\quad 4,PO^2 = 2\ell^2
$$ Longrightarrow 4,PO^2 = 2ell^2

Passo 5

Da relação PO^2=ell^2/2 concluímos que P se encontra a uma distância fixa de O, isto é, o lugar geométrico é a circunferência de centro O e raio ell/raiz2.

Resposta

O lugar geométrico é a circunferência de centro no ponto de intersecção das diagonais de ABCD e raio ell/raiz2.

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