Seja ABCD um quadrado de lado
. Sabendo-se que
é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto
do plano definido por ABCD aos vértices de ABCD , determine:
O lugar geométrico do ponto
para
.
O lugar geométrico do ponto
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico do ponto P no plano de um quadrado ABCD de lado
tal que a soma dos quadrados das distâncias de P aos vértices satisfaça
. Isso cai em Geometria Analítica, usando lugares geométricos e a soma de quadrados de distâncias a pontos fixos.
Passo 2
Para resolver, usamos a seguinte propriedade (válida para qualquer conjunto de
pontos
e seu centro médio O):
Aqui temos
Passo 3
Precisamos calcular
para o quadrado. Como O é o centro, cada vértice está à distância
Logo
Passo 4
Substituindo na fórmula geral, obtemos
Impondo
, temos
$$
Passo 5
Da relação
concluímos que P se encontra a uma distância fixa de O, isto é, o lugar geométrico é a circunferência de centro O e raio
.
Resposta
O lugar geométrico é a circunferência de centro no ponto de intersecção das diagonais de ABCD e raio
.