Utilize o método da substituição para calcular as integrais indefinidas abaixo.
integral e^u(1-e^u)^2 d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral e^u(1-e^u)^2,du usando substituição.

Passo 2

Vamos escolher a substituição v = 1 - e^u. Assim, diferenciando ambos os lados, temos dv = -e^u,du, ou seja, e^u,du = -dv.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de v:
integral e^u(1-e^u)^2,du = integral -1v^2,dv = -integral v^-2,dv
Agora calculamos a antiderivada de -v^-2. Sabemos que integral v^n,dv = v^n+1n+1 + C, então
-integral v^-2,dv = -v^-1-1 + C = v^-1 + C
Por fim, voltamos à variável original: v = 1 - e^u. Logo a primitiva é
11 - e^u + C

Resposta

11 - e^u + C

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