Classifique as equações diferenciais ordinárias a seguir quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
y +pi^2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a tarefa aqui. A gente precisa classificar uma equação diferencial ordinária (EDO) com base em quatro aspectos: ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes. A equação que temos para analisar é:
y'' + pi^2 y = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e como identificar cada característica na equação.

Passo 2

Ordem da Equação:
A ordem de uma equação diferencial é determinada pelo maior grau da derivada que aparece nela. Na nossa equação:
y'' + pi^2 y = 0
Temos a derivada de segunda ordem, $ y’’ $. Não há derivadas de ordem superior, então a ordem da equação é segunda.

Passo 3

Linearidade:
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida $ y $ e suas derivadas aparecem na primeira potência e não são multiplicadas entre si. Na nossa equação:
y
O $ y’’ $ está na primeira potência e não está multiplicado por nada além de uma constante ($ \pi^{2} $). Não há termos como $ y \cdot y’ $ ou $ (y’’)^2 $, então a equação é linear.

Passo 4

Homogeneidade:
Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos dependem apenas da função desconhecida $ y $ e suas derivadas, sem termos livres (constantes ou funções de $ x $). A nossa equação é:
y
Não há termos independentes de $ y $, então a equação é homogênea.

Passo 5

Coeficientes:
Os coeficientes são os números ou funções que multiplicam $ y $ e suas derivadas. Se esses coeficientes são constantes, a equação tem coeficientes constantes; se dependem da variável independente (como $ x $), são coeficientes não constantes. Na nossa equação:
y
O coeficiente de $ y’’ $ é 1 (implícito) e o de $ y $ é $ \pi^{2} $, ambos são constantes. Então, os coeficientes são constantes.

Resposta

A equação diferencial $ y’’ + \pi^{2} y = 0 $ é de segunda ordem, linear, homogênea e possui coeficientes constantes.

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