Classifique as equações diferenciais ordinárias a seguir quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
t^2 y^prime prime+5 t y+4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária:
t^2 y'' + 5 t y + 4 y = 0
O objetivo é classificar essa equação quanto à ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa na teoria das equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a ordem da equação. A ordem é definida pela maior derivada presente na equação. Olhando para a equação:
t^2 y'' + 5 t y + 4 y = 0
A maior derivada é $ y’’ $, que é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $. Portanto, a ordem dessa equação é 2.

Passo 3

Agora, vamos verificar a linearidade da equação. Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita na forma:
an(t) y^(n) + an-1(t) y^(n-1) + dots + a1(t) y' + a0(t) y = g(t)
onde $ a_i(t) $ são funções de $ t $ e $ g(t) $ é uma função conhecida. Além disso, não pode haver produtos ou funções não lineares de $ y $ e suas derivadas.
Na nossa equação:
ai(t)
Tudo está na forma linear, sem termos como $ (y’)^2 $ ou $ y y’’ $. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Vamos verificar a homogeneidade agora. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos dependem apenas de $ y $ e de suas derivadas, e o lado direito da equação é zero.
Na nossa equação:
y
O lado direito é zero e não há termos independentes de $ y $. Logo, a equação é homogênea.

Passo 5

Por último, vamos analisar os coeficientes da equação. Se os coeficientes $ a_i(t) $ são constantes (não dependem de $ t $), a equação tem coeficientes constantes. Caso contrário, os coeficientes são variáveis.
Na equação:
ai(t)
Os coeficientes são $ t^{2} $ para $ y’’ $, $ 5 t $ para $ y $, e $ 4 $ para $ y $. Como eles dependem de $ t $, os coeficientes são variáveis.

Resposta

A equação diferencial é de segunda ordem, linear, homogênea e possui coeficientes variáveis.

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