Classifique as equações diferenciais ordinárias a seguir quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária:
O objetivo é classificar essa equação quanto à ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa na teoria das equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a ordem da equação. A ordem é definida pela maior derivada presente na equação. Olhando para a equação:
A maior derivada é $ y’’ $, que é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $. Portanto, a ordem dessa equação é 2.
Passo 3
Agora, vamos verificar a linearidade da equação. Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita na forma:
onde $ a_i(t) $ são funções de $ t $ e $ g(t) $ é uma função conhecida. Além disso, não pode haver produtos ou funções não lineares de $ y $ e suas derivadas.
Na nossa equação:
Tudo está na forma linear, sem termos como $ (y’)^2 $ ou $ y y’’ $. Portanto, a equação é linear.
Passo 4
Vamos verificar a homogeneidade agora. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos dependem apenas de $ y $ e de suas derivadas, e o lado direito da equação é zero.
Na nossa equação:
O lado direito é zero e não há termos independentes de $ y $. Logo, a equação é homogênea.
Passo 5
Por último, vamos analisar os coeficientes da equação. Se os coeficientes $ a_i(t) $ são constantes (não dependem de $ t $), a equação tem coeficientes constantes. Caso contrário, os coeficientes são variáveis.
Na equação:
Os coeficientes são $ t^{2} $ para $ y’’ $, $ 5 t $ para $ y $, e $ 4 $ para $ y $. Como eles dependem de $ t $, os coeficientes são variáveis.
Resposta
A equação diferencial é de segunda ordem, linear, homogênea e possui coeficientes variáveis.