Resolva as integrais pelo método da substituição trigonométrica
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral $ \int \sqrt{10 - 4x^{2}} , dx $ usando o método da substituição trigonométrica. Essa técnica é útil quando temos expressões dentro da raiz quadrada que se parecem com identidades trigonométricas. Para resolver, vamos identificar a forma da expressão, escolher a substituição trigonométrica certa e seguir passo a passo até encontrar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada para facilitar a substituição. Observamos que:
Podemos fatorar o 4:
Agora, a expressão dentro da raiz está no formato $ \sqrt{a^{2} - u^{2}} $, onde $ a = 1 $ e $ u = \frac{2x}{\sqrt{10}} $.
Passo 3
Com a expressão no formato $ \sqrt{a^{2} - u^{2}} $, a substituição trigonométrica apropriada é:
Portanto, substituindo:
Isso implica que:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $. Derivando ambos os lados em relação a $ \theta $:
Passo 5
Vamos substituir $ x $ e $ dx $ na integral original:
Sabemos que $ 1 - \sin^{2}(\theta) = \cos^{2}(\theta) $, então:
Passo 6
Para resolver $ \int \cos^{2}(\theta) , d\theta $, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 7
Agora, vamos voltar para $ x $. Lembramos que:
Então:
E também, usando a identidade $ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) $:
Resposta
Portanto, a integral resolve-se como: