Resolva as integrais pelo método da substituição trigonométrica
integral raiz10-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral $ \int \sqrt{10 - 4x^{2}} , dx $ usando o método da substituição trigonométrica. Essa técnica é útil quando temos expressões dentro da raiz quadrada que se parecem com identidades trigonométricas. Para resolver, vamos identificar a forma da expressão, escolher a substituição trigonométrica certa e seguir passo a passo até encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada para facilitar a substituição. Observamos que:
raiz10 - 4x^2
Podemos fatorar o 4:
raiz10 - 4x^2 = raiz10 (1 - 4x^210) = raiz10 (1 - (2xraiz10)^2)
Agora, a expressão dentro da raiz está no formato $ \sqrt{a^{2} - u^{2}} $, onde $ a = 1 $ e $ u = \frac{2x}{\sqrt{10}} $.

Passo 3

Com a expressão no formato $ \sqrt{a^{2} - u^{2}} $, a substituição trigonométrica apropriada é:
raiza^2 - u^2
Portanto, substituindo:
u = sin(theta)
Isso implica que:
2xraiz10 = sin(theta)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $. Derivando ambos os lados em relação a $ \theta $:
dx

Passo 5

Vamos substituir $ x $ e $ dx $ na integral original:
x
Sabemos que $ 1 - \sin^{2}(\theta) = \cos^{2}(\theta) $, então:
dx
integral raiz10 - 4x^2 , dx = integral raiz10 (1 - sin^2(theta)) cdot raiz102 cos(theta) , dtheta
1 - sin^2(theta) = cos^2(theta)

Passo 6

Para resolver $ \int \cos^{2}(\theta) , d\theta $, usamos a identidade trigonométrica:
integral cos^2(theta) , dtheta
Então:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
5 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 52 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta
= 52 ( theta + sin(2theta)2 ) + C

Passo 7

Agora, vamos voltar para $ x $. Lembramos que:
x
Então:
2xraiz10 = sin(theta)
E também, usando a identidade $ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) $:
theta = arcsin(2xraiz10)

Resposta

Portanto, a integral resolve-se como:
integral raiz10 - 4x^2 , dx = 52 arcsin(2xraiz10) + 2x raiz10 - 4x^25 + C

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