Resolva as integrais pelo método da substituição trigonométrica
integral 1x^3 raizx^2-9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1x^3 raizx^2-9 , dx usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões com raízes quadradas envolvendo quadrados de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como fazer a substituição adequada e manipular as expressões trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos raizx^2 - 9 na integral. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica do tipo x = a sec(theta), onde a é uma constante. Nesse caso, a = 3, então vamos definir:
x = 3 sec(theta)
Essa substituição ajuda a simplificar a expressão sob a raiz.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de x em relação a theta para substituir dx na integral. Derivando ambos os lados:
dx = 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta
Além disso, substituindo x na expressão raizx^2 - 9:
raizx^2 - 9 = raiz9 sec^2(theta) - 9 = raiz9 (sec^2(theta) - 1) = raiz9 tan^2(theta) = 3 tan(theta)
Agora temos tudo que precisamos para substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original:
integral 1x^3 raizx^2-9 , dx = integral 1(3 sec(theta))^3 cdot 3 tan(theta) cdot 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta
Simplificando os termos:
= integral 127 sec^3(theta) cdot 3 tan(theta) cdot 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral 181 sec^2(theta) , dtheta
Lembrando que 1/sec^2(theta) = cos^2(theta), a integral fica:
integral cos^2(theta)81 , dtheta = 181 integral cos^2(theta) , dtheta

Passo 5

Para integrar cos^2(theta), usamos a identidade trigonométrica:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Substituindo na integral:
181 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 1162 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta
Integrando termo a termo:
1162 ( theta + sin(2theta)2 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembrando que fizemos a substituição x = 3 sec(theta), então:
theta = sec^-1(x3)
Também, usamos:
sin(theta) = raizx^2 - 9x e cos(theta) = 3x
Portanto:
sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta) = 2 cdot raizx^2 - 9x cdot 3x = 6 raizx^2 - 9x^2

Passo 7

Substituindo theta e sin(2theta) de volta na expressão integrada:
1162 ( sec^-1(x3) + 6 raizx^2 - 92 x^2 ) + C = 1162 sec^-1(x3) + 3 raizx^2 - 9162 x^2 + C
Simplificando os coeficientes:
1162 sec^-1(x3) + raizx^2 - 954 x^2 + C

Resposta

Portanto, a integral integral 1x^3 raizx^2-9 , dx resolvida pelo método da substituição trigonométrica é:
1162 sec^-1(x3) + raizx^2 - 954 x^2 + C
Onde C representa a constante de integração.

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