Resolva as integrais pelo método da substituição trigonométrica
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões com raízes quadradas envolvendo quadrados de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como fazer a substituição adequada e manipular as expressões trigonométricas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos
na integral. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica do tipo
, onde
é uma constante. Nesse caso,
, então vamos definir:
Essa substituição ajuda a simplificar a expressão sob a raiz.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando ambos os lados:
Além disso, substituindo
na expressão
:
Agora temos tudo que precisamos para substituir na integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Lembrando que
, a integral fica:
Passo 5
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Também, usamos:
Portanto:
Passo 7
Substituindo
e
de volta na expressão integrada:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
Portanto, a integral
resolvida pelo método da substituição trigonométrica é:
Onde
representa a constante de integração.