Classifique as equações diferenciais ordinárias a seguir quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
y^prime prime+y=sec t

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente precisa classificar a equação diferencial ordinária $ y’’ + y = \sec t $ em relação a quatro coisas: ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes. Para isso, vamos revisar rapidinho o que cada uma dessas classificações significa e aplicar isso na nossa equação.

Passo 2

Ordem da Equação:
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Na nossa equação, $ y’’ + y = \sec t $, a maior derivada é $ y’’ $, que é a segunda derivada de $ y $. Então, a ordem dessa equação é 2.

Passo 3

Linearidade:
Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita de forma que todas as derivadas de $ y $ apareçam apenas em primeira potência e não sejam multiplicadas entre si ou por funções de $ y $. Nossa equação está na forma $ y’’ + y = \sec t $, que pode ser reescrita como $ y’’ + 1 \cdot y = \sec t $. Não tem produtos de derivadas nem funções complicadas de $ y $. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Homogeneidade:
Uma equação diferencial é homogênea se o lado direito for zero, ou seja, se puder ser escrita como $ y’’ + y = 0 $. No nosso caso, temos $ y’’ + y = \sec t $, onde o lado direito é $ \sec t $, que não é zero. Isso significa que a equação é não homogênea.

Passo 5

Coeficientes:
Os coeficientes são as funções que multiplicam as derivadas de $ y $ na equação. Na nossa equação $ y’’ + y = \sec t $, os coeficientes são constantes:
  • O coeficiente de $ y’’ $ é 1.
  • O coeficiente de $ y $ é também 1.
    Como esses coeficientes são números fixos (constantes) e não funções de $ t $, a equação tem coeficientes constantes.

Resposta

A equação diferencial $ y’’ + y = \sec t $ é:
  • De 2ª ordem,
  • Linear,
  • Não homogênea,
  • Com coeficientes constantes.

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