Classifique as equações diferenciais ordinárias a seguir quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
Passo 1
Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente precisa classificar a equação diferencial ordinária $ y’’ + y = \sec t $ em relação a quatro coisas: ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes. Para isso, vamos revisar rapidinho o que cada uma dessas classificações significa e aplicar isso na nossa equação.
Passo 2
Ordem da Equação:
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Na nossa equação, $ y’’ + y = \sec t $, a maior derivada é $ y’’ $, que é a segunda derivada de $ y $. Então, a ordem dessa equação é 2.
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente nela. Na nossa equação, $ y’’ + y = \sec t $, a maior derivada é $ y’’ $, que é a segunda derivada de $ y $. Então, a ordem dessa equação é 2.
Passo 3
Linearidade:
Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita de forma que todas as derivadas de $ y $ apareçam apenas em primeira potência e não sejam multiplicadas entre si ou por funções de $ y $. Nossa equação está na forma $ y’’ + y = \sec t $, que pode ser reescrita como $ y’’ + 1 \cdot y = \sec t $. Não tem produtos de derivadas nem funções complicadas de $ y $. Portanto, a equação é linear.
Uma equação diferencial é linear se puder ser escrita de forma que todas as derivadas de $ y $ apareçam apenas em primeira potência e não sejam multiplicadas entre si ou por funções de $ y $. Nossa equação está na forma $ y’’ + y = \sec t $, que pode ser reescrita como $ y’’ + 1 \cdot y = \sec t $. Não tem produtos de derivadas nem funções complicadas de $ y $. Portanto, a equação é linear.
Passo 4
Homogeneidade:
Uma equação diferencial é homogênea se o lado direito for zero, ou seja, se puder ser escrita como $ y’’ + y = 0 $. No nosso caso, temos $ y’’ + y = \sec t $, onde o lado direito é $ \sec t $, que não é zero. Isso significa que a equação é não homogênea.
Uma equação diferencial é homogênea se o lado direito for zero, ou seja, se puder ser escrita como $ y’’ + y = 0 $. No nosso caso, temos $ y’’ + y = \sec t $, onde o lado direito é $ \sec t $, que não é zero. Isso significa que a equação é não homogênea.
Passo 5
Coeficientes:
Os coeficientes são as funções que multiplicam as derivadas de $ y $ na equação. Na nossa equação $ y’’ + y = \sec t $, os coeficientes são constantes:
Os coeficientes são as funções que multiplicam as derivadas de $ y $ na equação. Na nossa equação $ y’’ + y = \sec t $, os coeficientes são constantes:
- O coeficiente de $ y’’ $ é 1.
- O coeficiente de $ y $ é também 1.
Como esses coeficientes são números fixos (constantes) e não funções de $ t $, a equação tem coeficientes constantes.
Resposta
A equação diferencial $ y’’ + y = \sec t $ é:
- De 2ª ordem,
- Linear,
- Não homogênea,
- Com coeficientes constantes.