Classifique as equações diferenciais ordinárias a seguir quanto a ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes.
y^prime-2 t y=1

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária que precisa classificar em quatro aspectos: ordem, linearidade, homogeneidade e coeficientes. A equação que vamos analisar é y^prime - 2 t y = 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e aplicar esses conceitos passo a passo.

Passo 2

Ordem da Equação: A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente na equação. Aqui, a derivada mais alta é y^prime, que é a primeira derivada de y. Portanto, a ordem dessa equação é 1.

Passo 3

Linearidade: Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita como uma combinação linear das derivadas de y mais uma função livre de y. A forma geral é:
an(t)y^(n) + an-1(t)y^(n-1) + dots + a0(t)y = g(t)
Na nossa equação, y^prime - 2 t y = 1, podemos ver que ela está na forma linear, onde a1(t) = 1, a0(t) = -2t e g(t) = 1. Então, a equação é linear.

Passo 4

Homogeneidade: Uma equação linear é homogênea se o lado direito da equação ( g(t)) for igual a zero. Na nossa equação, temos 1 no lado direito, que não é zero. Portanto, a equação é não homogênea.

Passo 5

Coeficientes: Os coeficientes são as funções que multiplicam as derivadas de y na equação. Na nossa equação y^prime - 2 t y = 1:
  • O coeficiente de y^prime é a1(t) = 1.
  • O coeficiente de y é a0(t) = -2t.

Resposta

Ordem: 1; Linearidade: linear; Homogeneidade: não homogênea; Coeficientes: a1(t) = 1, a0(t) = -2t.

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