Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
,
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial dada quanto à ordem e quanto à linearidade (linear ou não linear). Se a equação for linear, devo também dizer se ela é homogênea ou não homogênea. A equação fornecida é
Informações relevantes do enunciado: a expressão contém a segunda derivada de
em relação a
, a função
e uma função apenas de
(o termo
). Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Definição e aplicação — ordem da equação diferencial.
A ordem de uma equação diferencial é o grau da maior derivada presente nela. Exemplo: numa equação que contém até (segunda derivada) e não contém derivadas de ordem maior, a ordem é
. Na equação do enunciado o maior derivado presente é
, portanto a ordem é
A ordem de uma equação diferencial é o grau da maior derivada presente nela. Exemplo: numa equação que contém até
Passo 3
Definição e aplicação — linearidade.
Uma equação diferencial é dita linear (em relação à função desconhecida ) se a função
e todas as suas derivadas aparecem apenas em potência
(sem produtos entre si e sem funções não lineares aplicadas a
, como
,
,
, etc.) e os coeficientes desses termos podem depender somente da variável independente
. A forma geral de uma equação linear de segunda ordem é
Uma equação diferencial é dita linear (em relação à função desconhecida
onde
e
são funções de
somente.
Para a equação dada escrevo-a em uma forma padrão isolando os termos com
e suas derivadas:
Aqui os termos que envolvem
são
e
, ambos aparecem na primeira potência e não há produtos entre
e suas derivadas, nem funções não lineares de
. O termo
depende só de
. Logo a equação é linear.
Exemplo para fixar:
é linear (mesmo que coeficientes dependam de
). Já
é não linear por causa de
.
Passo 4
Definição e aplicação — homogeneidade (apenas para equações lineares).
Uma equação linear é homogênea se o termo do lado direito na forma padrão for zero, ou seja, se puder ser escrita como
Uma equação linear é homogênea se o termo do lado direito na forma padrão for zero, ou seja, se puder ser escrita como
Se existir um termo não nulo
no lado direito (dependendo só de
), a equação é não homogênea.
Na nossa equação, escrevemos a forma padrão como
onde o termo do lado direito é
, que é diferente de zero. Portanto a equação linear é não homogênea (ou seja, tem um termo de forçamento
).
Passo 5
Resumo do raciocínio e reforço final didático.
- Encontramos que o maior derivado é
, então a ordem é . - Verificamos que
e suas derivadas aparecem de forma linear (primeira potência, sem produtos entre si), então a equação é linear. - Ao colocar na forma padrão apareceu um termo não nulo
do lado direito, logo é não homogênea.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear
Homogeneidade: não homogênea
Linearidade: linear
Homogeneidade: não homogênea