Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+x=y,

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial dada quanto à ordem e quanto à linearidade (linear ou não linear). Se a equação for linear, devo também dizer se ela é homogênea ou não homogênea. A equação fornecida é
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} + x = y.
Informações relevantes do enunciado: a expressão contém a segunda derivada de y em relação a x, a função y e uma função apenas de x (o termo x). Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Definição e aplicação — ordem da equação diferencial.
A ordem de uma equação diferencial é o grau da maior derivada presente nela. Exemplo: numa equação que contém até \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} (segunda derivada) e não contém derivadas de ordem maior, a ordem é 2. Na equação do enunciado o maior derivado presente é \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}, portanto a ordem é
\text{Ordem} = 2.

Passo 3

Definição e aplicação — linearidade.
Uma equação diferencial é dita linear (em relação à função desconhecida y) se a função y e todas as suas derivadas aparecem apenas em potência 1 (sem produtos entre si e sem funções não lineares aplicadas a y, como \sin(y), y^2, yy', etc.) e os coeficientes desses termos podem depender somente da variável independente x. A forma geral de uma equação linear de segunda ordem é
a_{2}(x)\,\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + a_{1}(x)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_{0}(x)\,y = g(x),
onde a_{2}(x),a_{1}(x),a_{0}(x) e g(x) são funções de x somente.
Para a equação dada escrevo-a em uma forma padrão isolando os termos com y e suas derivadas:
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} - y = -x.
Aqui os termos que envolvem y são \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} e -y, ambos aparecem na primeira potência e não há produtos entre y e suas derivadas, nem funções não lineares de y. O termo -x depende só de x. Logo a equação é linear.
Exemplo para fixar: \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + 3(x)\,y' - \sin(x)\,y = e^{x} é linear (mesmo que coeficientes dependam de x). Já \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + y^{2} = 0 é não linear por causa de y^{2}.

Passo 4

Definição e aplicação — homogeneidade (apenas para equações lineares).
Uma equação linear é homogênea se o termo do lado direito na forma padrão for zero, ou seja, se puder ser escrita como
a_{2}(x)\,\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} + a_{1}(x)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_{0}(x)\,y = 0.
Se existir um termo não nulo g(x) no lado direito (dependendo só de x), a equação é não homogênea.
Na nossa equação, escrevemos a forma padrão como
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} - y = -x,
onde o termo do lado direito é -x, que é diferente de zero. Portanto a equação linear é não homogênea (ou seja, tem um termo de forçamento g(x) = -x).

Passo 5

Resumo do raciocínio e reforço final didático.
  • Encontramos que o maior derivado é \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}, então a ordem é 2.
  • Verificamos que y e suas derivadas aparecem de forma linear (primeira potência, sem produtos entre si), então a equação é linear.
  • Ao colocar na forma padrão apareceu um termo não nulo -x do lado direito, logo é não homogênea.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: linear
Homogeneidade: não homogênea

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