Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
,
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade (se é linear ou não). Se for linear, devo também dizer se é homogênea ou não homogênea. A equação dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A variável independente é
. - A variável dependente é
, assumida como função de . - A equação envolve
multiplicada por e igual a .
Passo 2
Determinar a ordem da equação.
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada presente na equação. Aqui aparece apenas , que é a derivada de primeira ordem. Logo a ordem é 1.
Escrito: Ordem = 1.
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada presente na equação. Aqui aparece apenas
Escrito: Ordem = 1.
Passo 3
Relembrar a definição de equação diferencial linear (primeira ordem).
Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
onde
,
e
são funções que dependem apenas da variável independente
(não podem depender de
). Em palavras: linear significa que
e suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares (coeficientes dependendo só de
), sem produtos entre
e
, nem termos como
,
,
, etc.
Passo 4
Tentar colocar a equação na forma linear. Reescrevo a equação dada:
Se eu quisesse forçar a forma
, teria que identificar um coeficiente de
que dependa apenas de
. Mas aqui o coeficiente de
é
, que depende de
(a própria função desconhecida). Portanto esse coeficiente não é função apenas de
, e a expressão contém o produto
, que é um termo não linear.
Passo 5
Concluir sobre linearidade.
Pelo raciocínio do passo anterior, a equação não pode ser escrita na forma linear porque há um produto entre e
. Assim a equação é não linear.
Pelo raciocínio do passo anterior, a equação não pode ser escrita na forma linear porque há um produto entre
Passo 6
Explicar brevemente sobre homogeneidade (para o caso linear) e aplicar ao problema.
Definição: para uma equação linear escrita como em , dizemos que é homogênea se
para todo
; caso contrário é não homogênea.
No nosso caso a equação não é linear, então a classificação quanto à homogeneidade (homogênea / não homogênea) não se aplica — essa terminologia só vale para equações lineares.
Definição: para uma equação linear escrita como em
No nosso caso a equação não é linear, então a classificação quanto à homogeneidade (homogênea / não homogênea) não se aplica — essa terminologia só vale para equações lineares.
Passo 7
Dou exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Exemplo de equação linear de primeira ordem homogênea:
. Aqui coeficientes dependem só de e o termo independente é zero. - Exemplo de equação linear de primeira ordem não homogênea:
com . - Exemplo semelhante ao nosso e não linear:
(o nosso caso) porque há produto — termo não linear.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear (não é linear)
Homogeneidade: não se aplica (a classificação homogênea / não homogênea é apenas para equações lineares)
Linearidade: não linear (não é linear)
Homogeneidade: não se aplica (a classificação homogênea / não homogênea é apenas para equações lineares)