Classifique as equações diferenciais quanto a ordem e a linearidade (linear ou não linear). Se a equação diferencial é linear, então classifique-a quanto a homogeneidade (homogênea ou não homogênea):
y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=x,

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a equação diferencial quanto à ordem e quanto à linearidade (se é linear ou não). Se for linear, devo também dizer se é homogênea ou não homogênea. A equação dada é
y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A variável independente é x.
  • A variável dependente é y, assumida como função de x.
  • A equação envolve \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} multiplicada por y e igual a x.

Passo 2

Determinar a ordem da equação.
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada presente na equação. Aqui aparece apenas \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, que é a derivada de primeira ordem. Logo a ordem é 1.
Escrito: Ordem = 1.

Passo 3

Relembrar a definição de equação diferencial linear (primeira ordem).
Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
a_1(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_0(x)y=g(x),
onde a_1(x), a_0(x) e g(x) são funções que dependem apenas da variável independente x (não podem depender de y). Em palavras: linear significa que y e suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares (coeficientes dependendo só de x), sem produtos entre y e \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, nem termos como y^2, \sin(y), 1/y, etc.

Passo 4

Tentar colocar a equação na forma linear. Reescrevo a equação dada:
y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x.
Se eu quisesse forçar a forma a_1(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_0(x)y=g(x), teria que identificar um coeficiente de \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} que dependa apenas de x. Mas aqui o coeficiente de \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} é y, que depende de y (a própria função desconhecida). Portanto esse coeficiente não é função apenas de x, e a expressão contém o produto y\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, que é um termo não linear.

Passo 5

Concluir sobre linearidade.
Pelo raciocínio do passo anterior, a equação não pode ser escrita na forma linear porque há um produto entre y e \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. Assim a equação é não linear.

Passo 6

Explicar brevemente sobre homogeneidade (para o caso linear) e aplicar ao problema.
Definição: para uma equação linear escrita como em \;a_1(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a_0(x)y=g(x)\;, dizemos que é homogênea se g(x)=0 para todo x; caso contrário é não homogênea.
No nosso caso a equação não é linear, então a classificação quanto à homogeneidade (homogênea / não homogênea) não se aplica — essa terminologia só vale para equações lineares.

Passo 7

Dou exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Exemplo de equação linear de primeira ordem homogênea: \displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=0. Aqui coeficientes dependem só de x e o termo independente é zero.
  • Exemplo de equação linear de primeira ordem não homogênea: \displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=q(x) com q(x)\neq0.
  • Exemplo semelhante ao nosso e não linear: \displaystyle y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x (o nosso caso) porque há produto y\cdot y' — termo não linear.

Resposta

Ordem: 1
Linearidade: não linear (não é linear)
Homogeneidade: não se aplica (a classificação homogênea / não homogênea é apenas para equações lineares)

Exercícios relacionados