Classifique as equações diferenciais em relação a ordem, grau e linearidade.
t^{5} y^{(4)}+2 t y^{(3)}+\operatorname{sen}(t) y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
t^{5}y^{(4)} + 2t\,y^{(3)} + \sin(t)\,y = 0
e pede para classificá-la quanto à ordem, grau e linearidade. Para isso, usaremos os conceitos:
  1. Ordem: o maior número de derivadas de y presentes.
  2. Grau: o maior expoente em que aparece a derivada de maior ordem, depois de eliminar raízes e frações em y^{(n)}.
  3. Linearidade: verifica-se se a equação pode ser escrita como soma de funções de t multiplicando y e suas derivadas, sem produtos entre derivadas ou potências não-unitárias de y e de suas derivadas.

Passo 2

Determinar a ordem.
O termo de maior derivada é y^{(4)}.
Portanto a ordem da equação é
\text{ordem} = 4.

Passo 3

Determinar o grau.
Aqui todas as derivadas aparecem elevadas à primeira potência e não há raízes nem denominadores envolvendo y^{(n)}.
Logo o grau da equação é
\text{grau} = 1.

Passo 4

Verificar a linearidade.
A equação pode ser escrita como
t^{5}y^{(4)} + 2t\,y^{(3)} + \sin(t)\,y = 0,
isto é, soma de termos da forma a_n(t)\,y^{(n)} sem produtos entre y ou suas derivadas e sem potências de ordem superior a 1.
Portanto a equação é linear. Além disso, como o segundo membro é zero, ela é homogênea.

Resposta

Ordem 4, grau 1, linear homogênea.

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