Determine as soluções das equações diferenciais lineares de 1^{a} ordem abaixo:
x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} x

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
x\,y' + 2\,y = \operatorname{sen} x
ou seja, reconhecer que é uma EDO da forma
y' + P(x)\,y = Q(x)
e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para escrever no formato padrão dividimos tudo por x (supondo x\neq0), obtendo
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{\operatorname{sen} x}{x}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(2\ln|x|) = x^2.

Passo 4

Multiplicando a equação por x^2, o lado esquerdo vira a derivada de x^2 y:
(x^2 y)' = x^2\,y' + 2x\,y = x\operatorname{sen} x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2 y = \int x\operatorname{sen} x\,dx + C.
Fazendo integração por partes u=x, dv=\operatorname{sen} x\,dx
\int x\operatorname{sen} x\,dx = -x\cos x + \operatorname{sen} x,
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x^2 y = -x\cos x + \operatorname{sen} x + C.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = \frac{-x\cos x + \operatorname{sen} x + C}{x^2}.

Resposta

y(x) = \frac{-x\cos x + \operatorname{sen} x + C}{x^2}.

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