Classifique as equações diferenciais em relação a ordem, grau e linearidade.
\cos (\varphi) \frac{d y}{d x}=4 x^{\prime} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+7, onde \varphi=\varphi(x).

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
\cos(\varphi)\,\frac{dy}{dx} \;=\; 4\,x'\,\frac{d^2y}{dx^2} \;+\; 7,
onde \varphi=\varphi(x). Precisamos classificar essa EDO em relação à ordem, ao grau e à linearidade.

Passo 2

Para determinar a ordem, basta identificar a derivada de maior ordem que aparece. Aqui aparece \dfrac{d^2y}{dx^2}, ou seja, a derivada de segunda ordem. Logo, a equação é de ordem 2.

Passo 3

O grau de uma EDO é o expoente (inteiro e não negativo) da maior derivada após ela ter sido colocada numa forma polinomial sem frações nem raízes envolvendo derivadas. Podemos escrever a equação como
-\,4\,x'\,\frac{d^2y}{dx^2} \;+\;\cos(\varphi)\,\frac{dy}{dx}\;-\;7 \;=\;0.
Aqui o termo com \frac{d^2y}{dx^2} aparece elevado à primeira potência e não há nenhuma fração ou radical envolvendo essa derivada. Portanto, o grau é 1.

Passo 4

Para verificar se a equação é linear, observamos como y e suas derivadas aparecem. Uma EDO é linear se cada derivada de y (incluindo y em si) aparece apenas multiplicada por alguma função de x (ou constante), sem produtos ou funções não lineares de y ou de suas derivadas. No nosso caso temos somente termos como \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{dy}{dx} e uma constante, cada um multiplicado por funções de x 4x' e \cos(\varphi). Logo, não há produtos entre y, dy/dx ou d^2y/dx^2, nem funções tipo \sin(y) ou (dy/dx)^2. Isso significa que a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial é de segunda ordem, grau 1 e linear.

Exercícios relacionados