Classifique as equações diferenciais a seguir quanto à:
  • ordem
  • linearidade
  • homogeneidade
    y^{\prime}=y^{2}+x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = y^{2} + x
e pede que a classifiquemos quanto a:
  • ordem;
  • linearidade;
  • homogeneidade.
Informações relevantes dadas: a equação envolve a derivada primeira de y, o termo y^{2} e a variável independente x.

Passo 2

Ordem: o que significa?
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivada de y que aparece na equação. Exemplos rápidos:
  • Se aparece apenas y', a ordem é 1.
  • Se aparece y'' (segunda derivada) e não aparece derivada de ordem maior, a ordem é 2.
Na equação dada aparece somente y' (a derivada de primeira ordem) e não aparece y'' nem derivadas superiores. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 1.

Passo 3

Linearidade: o que é uma equação diferencial linear?
Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo fonte g(x) dependem apenas da variável independente x (não dependem de y) e os termos em y e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de x (ou seja, aparecem de forma linear: c(x)\,y, d(x)\,y', etc.). Em particular, termos como y^{2}, \sin(y), y\,y', etc., tornam a equação não linear.
Na nossa equação aparece o termo y^{2}, que é um termo quadrático em y. Isso viola a definição de linearidade (aparece um produto/potência de y, não apenas coeficiente vezes y). Portanto a equação é
não linear.
Exemplos para comparar:
  • Linear homogênea de 1ª ordem: y' + p(x)\,y = 0.
  • Linear não homogênea de 1ª ordem: y' + p(x)\,y = g(x).
  • Não linear: y' = y^{2} (ou a nossa y' = y^{2}+x).

Passo 4

Homogeneidade: que sentidos existem e qual se aplica?
Existem dois sentidos comuns de “homogeneidade” em ODEs; é importante distinguir:
  1. Homogeneidade no sentido de equação linear:
  • Para equações lineares escritas como acima, “homogênea” significa que o termo fonte é zero, isto é, g(x)=0. Por exemplo, y' + p(x)\,y = 0 é linear homogênea; y' + p(x)\,y = g(x) com g\not\equiv 0 é linear não homogênea.
  • No nosso caso a equação nem é linear, portanto essa classificação (linear homogênea / não homogênea) não se aplica diretamente. Podemos dizer que não é uma equação linear homogênea.
  1. Homogeneidade no sentido de função homogênea para equações de primeira ordem do tipo y' = F(x,y):
  • Diz-se que F(x,y) é homogênea de grau m se F(tx,ty)=t^{m}F(x,y) para todo t>0. Um caso especial muito usado é m=0, quando F(x,y)=G(y/x) e a equação é chamada de “homogênea” (permite a substituição y=vx).
  • Aqui F(x,y)=y^{2}+x. Testando a homogeneidade:
F(tx,ty) = (ty)^{2} + tx = t^{2}y^{2} + t x.
Não existe um único expoente m tal que t^{2}y^{2}+t x = t^{m}(y^{2}+x) para todo t (os dois termos escalam de maneiras diferentes). Assim F não é homogênea em nenhum grau e, em particular, não é homogênea no sentido m=0 (não pode ser escrita como função de y/x apenas).
Conclusão sobre homogeneidade: a equação não é homogênea (nem linearmente homogênea, já que não é linear, nem homogênea no sentido de função homogênea).

Passo 5

Resumo didático e respostas finais:
  • Ordem é a primeira coisa que checamos (maior derivada presente): aqui é 1.
  • Linearidade: basta procurar potências ou produtos de y ou de suas derivadas; o termo y^{2} torna a equação não linear.
  • Homogeneidade: nem se encaixa como linear homogênea (porque não é linear) nem é homogênea no sentido F(tx,ty)=t^{m}F(x,y). Logo é não homogênea.

Resposta

Ordem: 1
Linearidade: não linear
Homogeneidade: não homogênea

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