Classifique as equações diferenciais a seguir quanto à:
- ordem
- linearidade
- homogeneidade
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a classifiquemos quanto a:
- ordem;
- linearidade;
- homogeneidade.
Informações relevantes dadas: a equação envolve a derivada primeira de
, o termo
e a variável independente
.
Passo 2
Ordem: o que significa?
A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivada de
que aparece na equação. Exemplos rápidos:
- Se aparece apenas
, a ordem é . - Se aparece
(segunda derivada) e não aparece derivada de ordem maior, a ordem é .
Na equação dada aparece somente
(a derivada de primeira ordem) e não aparece
nem derivadas superiores. Portanto a ordem é
Passo 3
Linearidade: o que é uma equação diferencial linear?
Uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo fonte
dependem apenas da variável independente
(não dependem de
) e os termos em
e suas derivadas aparecem apenas multiplicados por funções de
(ou seja, aparecem de forma linear:
,
, etc.). Em particular, termos como
,
,
, etc., tornam a equação não linear.
Na nossa equação aparece o termo
, que é um termo quadrático em
. Isso viola a definição de linearidade (aparece um produto/potência de
, não apenas coeficiente vezes
). Portanto a equação é
não linear.
não linear.
Exemplos para comparar:
- Linear homogênea de 1ª ordem:
. - Linear não homogênea de 1ª ordem:
. - Não linear:
(ou a nossa ).
Passo 4
Homogeneidade: que sentidos existem e qual se aplica?
Existem dois sentidos comuns de “homogeneidade” em ODEs; é importante distinguir:
- Homogeneidade no sentido de equação linear:
- Para equações lineares escritas como acima, “homogênea” significa que o termo fonte é zero, isto é,
. Por exemplo, é linear homogênea; com é linear não homogênea. - No nosso caso a equação nem é linear, portanto essa classificação (linear homogênea / não homogênea) não se aplica diretamente. Podemos dizer que não é uma equação linear homogênea.
- Homogeneidade no sentido de função homogênea para equações de primeira ordem do tipo
:
- Diz-se que
é homogênea de grau se para todo . Um caso especial muito usado é , quando e a equação é chamada de “homogênea” (permite a substituição ). - Aqui
. Testando a homogeneidade:
Não existe um único expoente
tal que
para todo
(os dois termos escalam de maneiras diferentes). Assim
não é homogênea em nenhum grau e, em particular, não é homogênea no sentido
(não pode ser escrita como função de
apenas).
Conclusão sobre homogeneidade: a equação não é homogênea (nem linearmente homogênea, já que não é linear, nem homogênea no sentido de função homogênea).
Passo 5
Resumo didático e respostas finais:
- Ordem é a primeira coisa que checamos (maior derivada presente): aqui é
. - Linearidade: basta procurar potências ou produtos de
ou de suas derivadas; o termo torna a equação não linear. - Homogeneidade: nem se encaixa como linear homogênea (porque não é linear) nem é homogênea no sentido
. Logo é não homogênea.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Homogeneidade: não homogênea
Linearidade: não linear
Homogeneidade: não homogênea