Exercício 0.14 Em uma certa população costuma haver 10.000 casos de gripe por ano. Foi introduzida uma vacina anual que consegue, em um ano, diminuir os casos em 20 \% sobre o número do ano anterior.
a) Supondo que a vacina seja aplicada anualmente e que todos a tomem, ache uma função exponencial f(x) com f(0)=10.000 e f(n) é a quantidade de doentes no final do n-ésimo ano.
b) Quantos anos serão necessários para que a quantidade de doentes seja menor do que 1.000 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados do enunciado:
    • Há inicialmente 10.000 casos de gripe por ano; isto é, f(0)=10.000.
    • A cada ano a vacina reduz o número de casos em 20\% em relação ao ano anterior.
    • A vacina é aplicada anualmente e toda a população toma.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Achar uma função exponencial f(x) com f(0)=10.000 e tal que f(n) seja a quantidade de doentes no final do n-ésimo ano.
    • (b) Determinar quantos anos são necessários para que a quantidade de doentes seja menor do que 1.000.

Passo 2

Modelando o processo ano a ano (explicação didática do modelo geométrico).
  • Por hipótese, a cada ano o número de casos diminui em 20\%. Diminuir em 20\% significa ficar com 100\%-20\%=80\% do valor anterior. Em forma decimal, o fator de multiplicação por ano é 0,8.
  • Se f(n) é o número de doentes no final do n-ésimo ano, a relação entre anos consecutivos é
f(n+1)=0{,}8\;f(n).
Isto é uma recorrência geométrica: cada ano multiplica por 0{,}8.
  • A partir de uma recorrência geométrica assim e do valor inicial f(0)=10.000, o termo geral é
f(n)=10.000\cdot(0{,}8)^{n},
para todo n=0,1,2,\dots. Esta é uma função exponencial com base 0{,}8 e coeficiente inicial 10.000.
  • Verificação rápida com poucos anos (para ganhar intuição):
    • f(1)=10.000\cdot0{,}8=8.000.
    • f(2)=8.000\cdot0{,}8=6.400.
    • Isso confere com a ideia de redução de 20\% a cada ano.
Observação: Podemos estender formalmente para f(x)=10.000\cdot(0{,}8)^{x} com x real se quiser uma função contínua, mas, para interpretar anos inteiros, basta usar n inteiro.

Passo 3

Resolver a pergunta (b): encontrar o menor n inteiro tal que f(n)<1.000.
  • Escrevendo a desigualdade com a fórmula que já temos:
10.000\cdot(0{,}8)^{n}<1.000.
  • Dividindo ambos os lados por 10.000:
(0{,}8)^{n}<0{,}1.
  • Para resolver uma inequação exponencial, aplicamos logaritmo natural ( \ln) dos dois lados. Lembrando que \ln é estritamente crescente, mas \ln(0{,}8)<0, então devemos cuidar da divisão depois; mais direto é escrever:
n\ln(0{,}8)<\ln(0{,}1).
Como \ln(0{,}8)<0, ao isolar n teremos que inverter o sinal se dividirmos por \ln(0{,}8). Isolando n:
n>\frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}8)}.
  • Agora calcular numericamente (fazendo as contas passo a passo sem pular):
    • \ln(0{,}1)\approx -2{,}302585093.
    • \ln(0{,}8)\approx -0{,}223143551.
    • Portanto
    n>\frac{-2{,}302585093}{-0{,}223143551}\approx 10{,}329\ldots
  • Como n representa número de anos inteiros (não faz sentido meio ano no modelo discreto dado), precisamos do menor inteiro n estritamente maior que 10{,}329\ldots, ou seja n=11.

Passo 4

Checagem numérica direta para ficar seguro (útil na prova para ver que arredondamento faz sentido):
  • Calcular f(10):
(0{,}8)^{10}=0{,}1073741824\quad\Rightarrow\quad f(10)=10.000\cdot0{,}1073741824\approx1.073{,}741824,
que ainda é maior que 1.000.
  • Calcular f(11):
f(11)=f(10)\cdot0{,}8\approx1.073{,}741824\cdot0{,}8\approx858{,}9934592,
que já é menor que 1.000. Logo, 11 anos é realmente o primeiro ano em que a quantidade fica abaixo de 1.000.

Resposta

f(x)=10.000\cdot(0{,}8)^{x}\n11

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