Exercício 0.14 Em uma certa população costuma haver 10.000 casos de gripe por ano. Foi introduzida uma vacina anual que consegue, em um ano, diminuir os casos em
sobre o número do ano anterior.
a) Supondo que a vacina seja aplicada anualmente e que todos a tomem, ache uma função exponencial
com
e
é a quantidade de doentes no final do
-ésimo ano.
b) Quantos anos serão necessários para que a quantidade de doentes seja menor do que 1.000 ?
a) Supondo que a vacina seja aplicada anualmente e que todos a tomem, ache uma função exponencial
b) Quantos anos serão necessários para que a quantidade de doentes seja menor do que 1.000 ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Dados do enunciado:
- Há inicialmente
casos de gripe por ano; isto é, . - A cada ano a vacina reduz o número de casos em
em relação ao ano anterior. - A vacina é aplicada anualmente e toda a população toma.
- Há inicialmente
-
O que o enunciado pede:
- (a) Achar uma função exponencial
com e tal que seja a quantidade de doentes no final do -ésimo ano. - (b) Determinar quantos anos são necessários para que a quantidade de doentes seja menor do que
.
- (a) Achar uma função exponencial
Passo 2
Modelando o processo ano a ano (explicação didática do modelo geométrico).
-
Por hipótese, a cada ano o número de casos diminui em
. Diminuir em significa ficar com do valor anterior. Em forma decimal, o fator de multiplicação por ano é . -
Se
é o número de doentes no final do -ésimo ano, a relação entre anos consecutivos é
Isto é uma recorrência geométrica: cada ano multiplica por
.
- A partir de uma recorrência geométrica assim e do valor inicial
, o termo geral é
para todo
. Esta é uma função exponencial com base
e coeficiente inicial
.
- Verificação rápida com poucos anos (para ganhar intuição):
-
. -
. - Isso confere com a ideia de redução de
a cada ano.
-
Observação: Podemos estender formalmente para
com
real se quiser uma função contínua, mas, para interpretar anos inteiros, basta usar
inteiro.
Passo 3
Resolver a pergunta (b): encontrar o menor
inteiro tal que
.
- Escrevendo a desigualdade com a fórmula que já temos:
- Dividindo ambos os lados por
:
- Para resolver uma inequação exponencial, aplicamos logaritmo natural (
) dos dois lados. Lembrando que é estritamente crescente, mas , então devemos cuidar da divisão depois; mais direto é escrever:
Como
, ao isolar
teremos que inverter o sinal se dividirmos por
. Isolando
:
-
Agora calcular numericamente (fazendo as contas passo a passo sem pular):
-
. -
. - Portanto
-
-
Como
representa número de anos inteiros (não faz sentido meio ano no modelo discreto dado), precisamos do menor inteiro estritamente maior que , ou seja .
Passo 4
Checagem numérica direta para ficar seguro (útil na prova para ver que arredondamento faz sentido):
- Calcular
:
que ainda é maior que
.
- Calcular
:
que já é menor que
. Logo,
anos é realmente o primeiro ano em que a quantidade fica abaixo de
.