Determine a solução getal das EDP’s abaixo, em que u=u(x, y).
u_{y}+2 y u=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
u_{y}+2\,y\,u=0,
onde u=u(x,y). A pergunta é: encontrar a solução geral (solução geral “getal”) dessa EDP, ou seja, todas as funções u(x,y) que satisfazem a equação para todo (x,y). Informações relevantes que temos:
  • A derivada aparecida é apenas em relação a y: u_{y}=\dfrac{\partial u}{\partial y}.
  • Não há derivadas em relação a x.
  • Espera-se que a constante de integração que surgir ao integrar em y possa depender de x (porque x é tratado como parâmetro quando derivamos/integrarmos em y).

Passo 2

Vamos enxergar a EDP como uma equação diferencial ordinária em y, com x como parâmetro. Ou seja, para cada valor fixo de x a função y\mapsto u(x,y) satisfaz a ODE
\frac{\partial u}{\partial y}+2y\,u=0.
Isso é uma ODE linear de primeira ordem na variável y do tipo
u_{y}+p(y)u=q(y),
com p(y)=2y e q(y)=0. Para esse tipo de equação existe o método do fator integrante (integrating factor) ou também se resolve por separação de variáveis quando for possível. Vou usar o fator integrante porque é um procedimento padrão e didático.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(y). O fator integrante para uma ODE da forma u_{y}+p(y)u=0 é
\mu(y)=\exp\left(\int p(y)\,dy\right).
Aqui p(y)=2y, logo
\mu(y)=\exp\left(\int 2y\,dy\right)=\exp\big(y^{2}\big).
Multiplicamos a equação original por \mu(y):
\exp(y^{2})\,u_{y}+2y\exp(y^{2})\,u=0.
O lado esquerdo é a derivada em y do produto \exp(y^{2})u, porque
\frac{\partial}{\partial y}\big(\exp(y^{2})u\big)=\exp(y^{2})\,u_{y}+2y\exp(y^{2})\,u.
Portanto obtemos
\frac{\partial}{\partial y}\big(\exp(y^{2})u\big)=0.

Passo 4

Integrando em relação a y (lembrando que ao integrar em y a “constante” de integração pode depender de x) temos
\exp(y^{2})\,u(x,y)=C(x),
onde C(x) é uma função arbitrária de x. Isolando u,
u(x,y)=C(x)\,\exp\big(-y^{2}\big).
Esse é o resultado geral. Observação alternativa rápida (opcional): pela separação de variáveis teríamos \dfrac{u_{y}}{u}=-2y, integrar \int \dfrac{u_{y}}{u}\,dy=\int -2y\,dy \ln|u|=-y^{2}+C(x), que leva à mesma forma u=C(x)e^{-y^{2}}.

Passo 5

Interpretação prática e exemplo: a solução geral é
u(x,y)=f(x)\,e^{-y^{2}},
onde f(x) é uma função arbitrária de x. Se for dado um dado inicial do tipo u(x,0)=g(x), então basta escolher f(x)=g(x) e a solução que satisfaz essa condição inicial é u(x,y)=g(x)e^{-y^{2}}. Exemplo concreto: se u(x,0)=\sin x então u(x,y)=\sin x\,e^{-y^{2}}.

Resposta

u(x,y)=f(x)\,e^{-y^{2}}

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