Determine a solução getal das EDP’s abaixo, em que
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial
onde
. A pergunta é: encontrar a solução geral (solução geral “getal”) dessa EDP, ou seja, todas as funções
que satisfazem a equação para todo
. Informações relevantes que temos:
- A derivada aparecida é apenas em relação a
: . - Não há derivadas em relação a
. - Espera-se que a constante de integração que surgir ao integrar em
possa depender de (porque é tratado como parâmetro quando derivamos/integrarmos em ).
Passo 2
Vamos enxergar a EDP como uma equação diferencial ordinária em
, com
como parâmetro. Ou seja, para cada valor fixo de
a função
satisfaz a ODE
Isso é uma ODE linear de primeira ordem na variável
do tipo
com
e
. Para esse tipo de equação existe o método do fator integrante (integrating factor) ou também se resolve por separação de variáveis quando for possível. Vou usar o fator integrante porque é um procedimento padrão e didático.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. O fator integrante para uma ODE da forma
é
Aqui
, logo
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é a derivada em
do produto
, porque
Portanto obtemos
Passo 4
Integrando em relação a
(lembrando que ao integrar em
a “constante” de integração pode depender de
) temos
onde
é uma função arbitrária de
. Isolando
,
Esse é o resultado geral. Observação alternativa rápida (opcional): pela separação de variáveis teríamos
, integrar
dá
, que leva à mesma forma
.
Passo 5
Interpretação prática e exemplo: a solução geral é
onde
é uma função arbitrária de
. Se for dado um dado inicial do tipo
, então basta escolher
e a solução que satisfaz essa condição inicial é
. Exemplo concreto: se
então
.