Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
(x-3)^24+(y+2)^29+(z-1)^216=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar e esboçar a superfície dada pela equação (x-3)^24+(y+2)^29+(z-1)^216=1. Isso está relacionado ao estudo das superfícies quadricas na matemática, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis. Para resolver isso, vamos identificar a forma da equação e entender seus componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação: (x-3)^24+(y+2)^29+(z-1)^216=1. Essa equação tem termos quadráticos nas três variáveis x, y e z, cada um dividido por um número ao quadrado. Isso se parece com a equação geral de um elipsoide, que é uma superfície tridimensional oval.

Passo 3

Para confirmar, vamos lembrar a forma padrão de um elipsoide: (x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2+(z-l)^2c^2=1, onde (h,k,l) é o centro do elipsoide, e a, b, c são os semi-eixos nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 4

Comparando com a nossa equação, identificamos que:
  • h = 3
  • k = -2
  • l = 1
  • a^2 = 4 Rightarrow a = 2
  • b^2 = 9 Rightarrow b = 3
  • c^2 = 16 Rightarrow c = 4

Passo 5

Então, o elipsoide está centrado no ponto (3, -2, 1), com semi-eixos de comprimento 2 na direção x, 3 na direção y e 4 na direção z. Isso significa que a superfície é uma forma oval alongada nessas direções específicas.

Passo 6

Para esboçar, imagine um ponto central em (3, -2, 1). A partir desse ponto, expanda 2 unidades ao longo do eixo x, 3 unidades ao longo do eixo y e 4 unidades ao longo do eixo z. A interseção dessas expansões formará a forma tridimensional do elipsoide.

Resposta

A superfície é um elipsoide centrado no ponto (3, -2, 1), com semi-eixos de comprimento 2, 3 e 4 nas direções x, y e z, respectivamente.

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