Seja T: R^n R^m uma transformação linear.
(a) Suponha que u, v subset R^n é LI, mas T(u), T(v) é LD. Mostre que T(x)=0 tem uma solução não-trivial.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma transformação linear . Foi dado que o conjunto em é linearmente independente (LI), mas após aplicar , o conjunto se torna linearmente dependente (LD). Nosso objetivo é mostrar que a equação tem uma solução não-trivial. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de independência linear e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, como sabemos que a cdot T(u) + b cdot T(v) = 0 é linearmente dependente, existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, existem escalares e , não ambos zero, tais que:

Passo 3

Usando a propriedade de linearidade da transformação T(a cdot u + b cdot v) = 0 , podemos fatorar os escalares:
Isso significa que o vetor é mapeado para o vetor zero pela transformação .

Passo 4

Como e não são ambos zero, o vetor é uma combinação não trivial dos vetores e . Além disso, já que é linearmente independente, isso garante que .

Passo 5

Portanto, encontramos um vetor que não é o vetor zero e satisfaz . Isso mostra que a equação tem uma solução não-trivial.

Resposta

A equação possui uma solução não-trivial, especificamente , onde e não são ambos zero.

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