Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. O objetivo aqui é classificar que tipo de superfície ela representa e desenhar um esboço dessa superfície. Para isso, vamos precisar entender sobre superfícies quadráticas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis. Vamos usar um pouco de álgebra e geometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais clara:
. Nessa equação, temos termos quadráticos negativos e positivos. A presença de mais de um sinal nos termos quadráticos nos indica que estamos lidando com um hiperboloide.
Passo 3
Especificamente, como temos dois termos com sinais positivos e negativos (
positivo e
e
negativos), isso nos indica que é um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície se parece com uma espécie de 2 “metades” que se abrem para cima e para baixo.
Passo 4
Para visualizar melhor, vamos pensar em cortes dessa superfície. Se fixarmos um valor para uma das variáveis, digamos
, a equação vira
, que não tem solução real, indicando que a superfície não corta o plano
. Já se fixarmos
, temos
, que é uma hipérbole. O mesmo acontece se fixarmos
:
, também uma hipérbole.
Passo 5
A partir disso, podemos concluir que a superfície é simétrica em relação aos eixos
,
e
, e possui uma estrutura em forma de sela, típica dos hiperboloides de uma folha. Essa simetria e os cortes hiperbólicos ajudam a esboçar a forma geral da superfície.
Resposta
A equação
representa um hiperboloide de uma folha. O esboço dessa superfície mostra uma estrutura simétrica em relação aos eixos, com duas “metades” que se abrem para cima e para baixo, formando uma forma semelhante a uma sela.