Seja e seja o subespaço gerado por .
(b) Verifique se o vetor pertence a .
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado nos dá um conjunto de vetores que geram um subespaço no espaço . A pergunta é: o vetor está dentro desse subespaço ? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, lembrar que um vetor pertence a um subespaço gerado por um conjunto de vetores se ele pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, precisamos encontrar escalares , , e tais que:
Passo 3
Vamos escrever isso componente a componente:
Primeira coordenada:
Segunda coordenada:
Terceira coordenada:
Quarta coordenada:
Passo 4
Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Primeiro, da segunda equação, podemos simplificar:
5c + 5d = 0 Rightarrow c + d = 0 Rightarrow d = -c
Isso nos ajuda a reduzir o número de variáveis.
Passo 6
Substituímos d = -c nas outras equações:
Primeira equação:
a + 2b + 4c - c = a + 2b + 3c = 2
Terceira equação:
b + 6c + 5(-c) = b + 6c - 5c = b + c = 2
Quarta equação:
a + 2c - c = a + c = 2
Agora, nosso sistema fica:
a + 2b + 3c = 2 b + c = 2 a + c = 2
Passo 7
Vamos resolver pela segunda equação: b + c = 2 Rightarrow b = 2 - c
E da terceira equação: a + c = 2 Rightarrow a = 2 - c
Agora, substituímos a e b na primeira equação:
(2 - c) + 2(2 - c) + 3c = 2
Simplificando:
2 - c + 4 - 2c + 3c = 2 6 + 0c = 2 6 = 2
Passo 8
Aí está o problema: chegamos a uma contradição 6 = 2, o que significa que nosso sistema não tem solução. Isso quer dizer que não existe combinação linear dos vetores em alpha que resulte no vetor u.
Resposta
O vetor u = (2,0,2,2)não pertence ao subespaço V gerado por alpha.