Seja alpha=(1,0,0,1),(2,0,1,0),(4,5,6,2),(1,5,5,1) e seja V o subespaço gerado por alpha.
(b) Verifique se o vetor u=(2,0,2,2) pertence a V.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos dá um conjunto de vetores alpha = (1,0,0,1), (2,0,1,0), (4,5,6,2), (1,5,5,1) que geram um subespaço V no espaço R^4. A pergunta é: o vetor u = (2,0,2,2) está dentro desse subespaço V? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, lembrar que um vetor pertence a um subespaço gerado por um conjunto de vetores se ele pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, precisamos encontrar escalares a, b, c e d tais que:
a(1,0,0,1) + b(2,0,1,0) + c(4,5,6,2) + d(1,5,5,1) = (2,0,2,2)

Passo 3

Vamos escrever isso componente a componente:
  1. Primeira coordenada:
1a + 2b + 4c + 1d = 2
  1. Segunda coordenada:
0a + 0b + 5c + 5d = 0
  1. Terceira coordenada:
0a + 1b + 6c + 5d = 2
  1. Quarta coordenada:
1a + 0b + 2c + 1d = 2

Passo 4

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
a + 2b + 4c + d = 2 5c + 5d = 0 b + 6c + 5d = 2 a + 2c + d = 2
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da segunda equação, podemos simplificar:
5c + 5d = 0 Rightarrow c + d = 0 Rightarrow d = -c
Isso nos ajuda a reduzir o número de variáveis.

Passo 6

Substituímos d = -c nas outras equações:
  1. Primeira equação:
a + 2b + 4c - c = a + 2b + 3c = 2
  1. Terceira equação:
b + 6c + 5(-c) = b + 6c - 5c = b + c = 2
  1. Quarta equação:
a + 2c - c = a + c = 2
Agora, nosso sistema fica:
a + 2b + 3c = 2 b + c = 2 a + c = 2

Passo 7

Vamos resolver pela segunda equação: b + c = 2 Rightarrow b = 2 - c
E da terceira equação: a + c = 2 Rightarrow a = 2 - c
Agora, substituímos a e b na primeira equação:
(2 - c) + 2(2 - c) + 3c = 2
Simplificando:
2 - c + 4 - 2c + 3c = 2 6 + 0c = 2 6 = 2

Passo 8

Aí está o problema: chegamos a uma contradição 6 = 2, o que significa que nosso sistema não tem solução. Isso quer dizer que não existe combinação linear dos vetores em alpha que resulte no vetor u.

Resposta

O vetor u = (2,0,2,2) não pertence ao subespaço V gerado por alpha.

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