Verifique se o conjunto W com as operações indicadas é um subespaço vetorial de V :
V=R^3, V=(4 t, 2 t,-1) ; t in R, com as operações usuais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Basicamente, isso significa que precisa cumprir algumas regras específicas para ser considerado um subespaço. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial, como verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado para adição e para multiplicação por escalar. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o conjunto W = (4t, 2t, -1) ; | ; t in R . Ele é definido por:
Isso significa que todo vetor em é da forma , onde é um número real.

Passo 3

A primeira coisa que a gente precisa verificar é se o vetor zero de 4t = 0 Rightarrow t = 0 2t = 0 Rightarrow t = 0 -1 = 0 (isso não é possível) está em . O vetor zero em é .
Vamos ver se existe algum valor de que faz :
ãéí
Vemos que, mesmo com , o terceiro componente fica , que não é igual a zero. Portanto, o vetor zero não est�� em .

Passo 4

Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não pode ser um subespaço vetorial. Mas vamos continuar verificando as outras condições para ficar claro.

Passo 5

Vamos checar se u + v = (4t1 + 4t2, 2t1 + 2t2, -1 + (-1)) = (4(t1 + t2), 2(t1 + t2), -2) é fechado para adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer de (4(t1 + t2), 2(t1 + t2), -2) = (4t, 2t, -1) , a soma deles também deve estar em .
Seja e . A soma é:
Para que esteja em , deve existir um tal que:
Isso implicaria , o que não é verdade. Logo, não é fechado para adição.

Passo 6

Agora, vamos ver se k cdot u = (k cdot 4t, k cdot 2t, k cdot (-1)) = (4kt, 2kt, -k) é fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor de (4kt, 2kt, -k) = (4t', 2t', -1) por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Pegando e um escalar , temos:
Para que esteja em , deve existir um tal que:
Isso implica que , ou seja, . Mas pode ser qualquer número real, então nem todos os escalares mantêm o vetor dentro de .

Resposta

Então, concluindo tudo isso, o conjunto não é um subespaço vetorial de , porque não contém o vetor zero, nem é fechado para adição e multiplicação por escalar.

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