Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um subespaço vetorial de
:
, com as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Basicamente, isso significa que
precisa cumprir algumas regras específicas para ser considerado um subespaço. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial, como verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado para adição e para multiplicação por escalar. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o conjunto
. Ele é definido por:
Isso significa que todo vetor em
é da forma
, onde
é um número real.
Passo 3
A primeira coisa que a gente precisa verificar é se o vetor zero de
está em
. O vetor zero em
é
.
Vamos ver se existe algum valor de
que faz
:
Vemos que, mesmo com
, o terceiro componente fica
, que não é igual a zero. Portanto, o vetor zero não est�� em
.
Passo 4
Já que o conjunto
não contém o vetor zero, ele não pode ser um subespaço vetorial. Mas vamos continuar verificando as outras condições para ficar claro.
Passo 5
Vamos checar se
é fechado para adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer de
, a soma deles também deve estar em
.
Seja
e
. A soma é:
Para que
esteja em
, deve existir um
tal que:
Isso implicaria
, o que não é verdade. Logo,
não é fechado para adição.
Passo 6
Agora, vamos ver se
é fechado para multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor de
por qualquer número real, o resultado também deve estar em
.
Pegando
e um escalar
, temos:
Para que
esteja em
, deve existir um
tal que:
Isso implica que
, ou seja,
. Mas
pode ser qualquer número real, então nem todos os escalares mantêm o vetor dentro de
.
Resposta
Então, concluindo tudo isso, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
, porque não contém o vetor zero, nem é fechado para adição e multiplicação por escalar.