Classifique e esboce a superfície representada por cada uma das equações (são quádricas, pode ser necessário completar quadrados ou organizar a equação reduzida)
4 x^2-3 y^2+12 z^2+12=0

Passo 1

O enunciado pede para a gente classificar e esboçar a superfície definida pela equação quád rica
4x^2 − 3y^2 + 12z^2 + 12 = 0. Esse conteúdo é sobre superfícies quádricas: a ideia é pôr a equação na forma reduzida (isto é, forma padrão) para reconhecer o tipo (esfera, elipsoide, hiperbolóide, etc.) e depois desenhar grosso modo.

Passo 2

Vamos isolar os termos quadráticos e levar a constante para o outro lado. Primeiro escrevo:
4x^2 + 12z^2 - 3y^2 = -12
Agora divido tudo por −12 para obter o lado direito igual a 1 (forma padrão):
4x^2-12 + 12z^2-12 - 3y^2-12 = 1
Isto é
-x^23 - z^2 + y^24 = 1
invertendo os sinais:
y^24 - x^23 - z^2 = 1

Passo 3

Na forma
y^22^2 - x^2(raiz3)^2 - z^21^2 = 1
nós vemos um sinal positivo para o termo em y^2 e sinais negativos para x^2 e z^2. Essa é a forma padrão de um hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo y.

Passo 4

Para entender o esboço, note que só existe solução quando
y^24 >= 1Longrightarrow |y| >= 2
Para cada valor fixo de y com |y|>2, a seção transversal no plano y=const é uma elipse em xz dada por
x^23 + z^2 = y^24-1
Quando |y|<2 não há pontos da superfície (não satisfaz a equação). Então são duas “folhas”: uma com y ≥ 2 e outra com y ≤ −2.

Passo 5

No esboço, representamos o eixo y vertical, marcamos os “vértices” da folha superior em (0,2,0) e da inferior em (0,−2,0), e para valores maiores de |y| desenhamos elipses crescentes em torno desses pontos. Isso nos dá o hiperbolóide de duas folhas aberto para cima e para baixo ao longo do eixo y.

Resposta

É um hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo de y, definido por
y^24 - x^23 - z^2 = 1

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