Classifique e esboce a superfície representada por cada uma das equações (são quádricas, pode ser necessário completar quadrados ou organizar a equação reduzida)
Passo 1
O enunciado pede para a gente classificar e esboçar a superfície definida pela equação quád rica
4x^2 − 3y^2 + 12z^2 + 12 = 0. Esse conteúdo é sobre superfícies quádricas: a ideia é pôr a equação na forma reduzida (isto é, forma padrão) para reconhecer o tipo (esfera, elipsoide, hiperbolóide, etc.) e depois desenhar grosso modo.
4x^2 − 3y^2 + 12z^2 + 12 = 0. Esse conteúdo é sobre superfícies quádricas: a ideia é pôr a equação na forma reduzida (isto é, forma padrão) para reconhecer o tipo (esfera, elipsoide, hiperbolóide, etc.) e depois desenhar grosso modo.
Passo 2
Vamos isolar os termos quadráticos e levar a constante para o outro lado. Primeiro escrevo:
Agora divido tudo por −12 para obter o lado direito igual a 1 (forma padrão):
Isto é
invertendo os sinais:
Passo 3
Na forma
nós vemos um sinal positivo para o termo em y^2 e sinais negativos para x^2 e z^2. Essa é a forma padrão de um hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo y.
Passo 4
Para entender o esboço, note que só existe solução quando
Para cada valor fixo de y com |y|>2, a seção transversal no plano y=const é uma elipse em xz dada por
Quando |y|<2 não há pontos da superfície (não satisfaz a equação). Então são duas “folhas”: uma com y ≥ 2 e outra com y ≤ −2.
Passo 5
No esboço, representamos o eixo y vertical, marcamos os “vértices” da folha superior em (0,2,0) e da inferior em (0,−2,0), e para valores maiores de |y| desenhamos elipses crescentes em torno desses pontos. Isso nos dá o hiperbolóide de duas folhas aberto para cima e para baixo ao longo do eixo y.
Resposta
É um hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo de y, definido por