Resolva as equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial:
Esse tipo de problema pertence ao estudo das equações diferenciais não lineares, especificamente uma equação que parece ser do tipo Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar substituições adequadas e técnicas de separação de variáveis. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para isolar a derivada
. Dividindo ambos os lados da equação por
, temos:
Agora, ficamos com:
Passo 3
Perceba que a equação está em uma forma que sugere uma substituição para simplificar. Vamos deixar
. Isso significa que
. Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos isolar a derivada
:
Simplificando mais:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Essa nova equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados:
As integrais resultam em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando a equação:
Vamos expressar
em função de
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.