Resolva as equações diferenciais dadas:
t^2 d yd t+y^2=t y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial:
t^2 d yd t + y^2 = t y
Esse tipo de problema pertence ao estudo das equações diferenciais não lineares, especificamente uma equação que parece ser do tipo Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar substituições adequadas e técnicas de separação de variáveis. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para isolar a derivada d yd t. Dividindo ambos os lados da equação por t^2, temos:
d yd t + y^2t^2 = yt
Agora, ficamos com:
d yd t = yt - y^2t^2

Passo 3

Perceba que a equação está em uma forma que sugere uma substituição para simplificar. Vamos deixar u = yt. Isso significa que y = u t. Agora, vamos encontrar a derivada de y em relação a t:
d yd t = u + t d ud t

Passo 4

Substituindo y e d yd t na equação original, temos:
u + t d ud t = u tt - (u t)^2t^2
Simplificando os termos:
u + t d ud t = u - u^2

Passo 5

Agora, vamos isolar a derivada d ud t:
t d ud t = u - u^2 - u
Simplificando mais:
t d ud t = -u^2
Dividindo ambos os lados por t:
d ud t = -u^2t

Passo 6

Essa nova equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis u e t em lados opostos da equação:
d uu^2 = -d tt

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral d uu^2 = -integral d tt
As integrais resultam em:
-1u = -ln |t| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a equação:
1u = ln |t| + C
Vamos expressar u em função de t:
u = 1ln |t| + C

Passo 9

Lembrando que u = yt, substituímos de volta para encontrar y:
yt = 1ln |t| + C
Multiplicando ambos os lados por t:
y = tln |t| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = tln t + C
Onde C é uma constante arbitrária.

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