Mostre que as funções são descontínuas em (0,0)
F(x, y)=(x-y) /(x+y)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função F(x,y) = x-yx+y é descontínua no ponto (0,0). Vamos usar o conceito de limite por caminhos distintos em funções de duas variáveis, pois se o limite não for o mesmo em duas direções, a função não pode ser contínua nesse ponto.

Passo 2

Considere o caminho y = 0. Então para x neq 0 temos
F(x,0) = x - 0x + 0 = 1
Quando (x,0) to (0,0), o valor de F(x,0) tende a 1.

Passo 3

Agora considere o caminho y = x. Para x neq 0 vale
F(x,x) = x - xx + x = 0
Quando (x,x) to (0,0), o valor de F(x,x) tende a 0.

Passo 4

Como os limites ao longo de y=0 e y=x são distintos ( 1 e 0, respectivamente), não existe um único limite de F(x,y) quando (x,y)to(0,0). Portanto, a função é descontínua em (0,0).

Resposta

A função não possui limite único em (0,0) e, logo, é descontínua nesse ponto.

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