Determine e esboce o domínio das funções, obtendo o domínio e a imagem.
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função de duas variáveis
. O conteúdo principal aqui é a definição de domínio de funções que envolvem raízes quadradas, pois precisamos garantir que o que está dentro de cada raiz seja não-negativo.
Passo 2
Para que
e
sejam reais, é preciso ter
e
. Assim, as condições de existência ditam que o domínio
satisfaz
Passo 3
Geometricamente, esse domínio é o primeiro quadrante do plano
, incluindo os eixos. Num rascunho, basta desenhar o eixo
, o eixo
e sombrear a região onde ambos são não-negativos.
Passo 4
Para a imagem, observamos que o valor mínimo ocorre em
, onde
. À medida que
ou
crescem,
cresce sem limite superior. Além disso, para qualquer
podemos tomar
e obter
. Logo, a imagem é o intervalo fechado que vai de zero ao infinito.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.