Classifique e esboce a superfície representada por cada uma das equações (são quádricas, pode ser necessário completar quadrados ou organizar a equação reduzida)
Passo 1
Estamos tratando da superfície dada por
, que é uma quádrica central homogênea (sem termos lineares nem termo constante). Para classificar, vamos usar a forma quadrática associada e buscar a forma canônica.
Passo 2
Como a equação já não tem termos mistos nem constantes, identificamos os coeficientes da forma quadrática:
,
,
. Há sinais diferentes (um positivo e dois negativos) e o termo constante é zero, o que caracteriza um cone duplo.
Passo 3
Isolando
, temos
portanto
$$
x=\pm\sqrt{y{2}+12z{2}}\quad.$$
Isso mostra explicitamente que há duas “nappes” (duplo cone) abrindo para e
.
Isso mostra explicitamente que há duas “nappes” (duplo cone) abrindo para
Passo 4
Para entender as seções transversais, fixamos
. Isso dá
que é a equação de uma elipse no plano
. Os semi-eixos são
ao longo de
e
ao longo de
.
Passo 5
No esboço, desenhamos o eixo
horizontal e indicamos dois cones simétricos em torno dele. Em projeção no plano
, as geratrizes são as retas
; em
, as geratrizes são
. Assim, temos um cone duplo elíptico de eixo no eixo
.
Resposta
Superfície é um cone duplo elíptico com eixo ao longo do eixo
, dado por
.