Classifique e esboce a superfície representada por cada uma das equações (são quádricas, pode ser necessário completar quadrados ou organizar a equação reduzida)
x^2-y^2-12 z^2=0

Passo 1

Estamos tratando da superfície dada por x^2-y^2-12z^2=0, que é uma quádrica central homogênea (sem termos lineares nem termo constante). Para classificar, vamos usar a forma quadrática associada e buscar a forma canônica.

Passo 2

Como a equação já não tem termos mistos nem constantes, identificamos os coeficientes da forma quadrática: A=1, B=-1, C=-12. Há sinais diferentes (um positivo e dois negativos) e o termo constante é zero, o que caracteriza um cone duplo.

Passo 3

Isolando x, temos
x^2=y^2+12z^2
portanto
$$
x=\pm\sqrt{y{2}+12z{2}}\quad.$$
Isso mostra explicitamente que há duas “nappes” (duplo cone) abrindo para x=pmraizy^2+12z^2 e +x.

Passo 4

Para entender as seções transversais, fixamos x=k. Isso dá
y^2+12z^2=k^2,
que é a equação de uma elipse no plano x=k. Os semi-eixos são |k| ao longo de y e |k|/raiz12 ao longo de z.

Passo 5

No esboço, desenhamos o eixo x horizontal e indicamos dois cones simétricos em torno dele. Em projeção no plano (x,y), as geratrizes são as retas y=pm x; em (x,z), as geratrizes são z=pm x/raiz12. Assim, temos um cone duplo elíptico de eixo no eixo x.

Resposta

Superfície é um cone duplo elíptico com eixo ao longo do eixo x, dado por x=pmraizy^2+12z^2.

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