Mostre que as funções são descontínuas em (0,0)
G(x, y)=x^2 /(x^2-y)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função G(x,y)=x^2x^2-y é descontínua em (0,0). O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis no ponto, e vamos precisar usar o teste dos caminhos distintos para ver que o limite não existe.

Passo 2

Vamos primeiro aproximar (x,y) de (0,0) ao longo do eixo x, ou seja, tomando y=0. Substituindo na expressão, para xneq0 temos
G(x,0)=x^2x^2-0=1
Portanto, o limite quando (x,y)to(0,0) por y=0 é 1.

Passo 3

Agora escolhemos um caminho genérico do tipo y=kx^2, com constante kneq1. Substituindo na definição de G obtemos:
Gl(x,kx^2r)=x^2x^2 - kx^2=x^2(1-k)x^2=11-k
Então o limite por esse caminho é 1/(1-k), que varia conforme k. Por exemplo, se k=tfrac12 o limite é 2.

Passo 4

Como ao variar k obtemos valores diferentes para o limite (por k=0 deu 1, por k=tfrac12 deu 2, etc.), não existe um único valor limite quando (x,y)to(0,0). Logo o limite não existe e a função é descontínua em (0,0).

Resposta

A função é descontínua em (0,0) pois o limite não é único ao aproximar por caminhos diferentes.

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