Mostre que as funções são descontínuas em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é descontínua em
. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis no ponto, e vamos precisar usar o teste dos caminhos distintos para ver que o limite não existe.
Passo 2
Vamos primeiro aproximar
de
ao longo do eixo
, ou seja, tomando
. Substituindo na expressão, para
temos
Portanto, o limite quando
por
é 1.
Passo 3
Agora escolhemos um caminho genérico do tipo
, com constante
. Substituindo na definição de
obtemos:
Então o limite por esse caminho é
, que varia conforme
. Por exemplo, se
o limite é 2.
Passo 4
Como ao variar
obtemos valores diferentes para o limite (por
deu 1, por
deu 2, etc.), não existe um único valor limite quando
. Logo o limite não existe e a função é descontínua em
.
Resposta
A função é descontínua em (0,0) pois o limite não é único ao aproximar por caminhos diferentes.