Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^3-2 x^2-5 x+6|

Passo 1

A questão pede para eliminar o módulo de x^3-2x^2-5x+6 usando estudo de sinais. Esse é um polinômio de grau 3, então vamos precisar fatorá-lo, encontrar suas raízes e estudar o sinal em cada intervalo para saber onde ele é positivo ou negativo.

Passo 2

Vamos achar as raízes de P(x)=x^3-2x^2-5x+6. Testando a raiz racional x=1 vem: 1-2-5+6=0, logo (x-1) é fator. Dividindo sinteticamente, obtemos o quociente x^2-x-6, que se fatoriza como (x-3)(x+2). Assim
P(x)=x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x-3)(x+2)

Passo 3

As raízes são -2,,1,,3. Como o coeficiente líder é positivo, para estudar o sinal em cada intervalo faremos um quadro mental:
x<-2: todos os três fatores são negativos → produto negativo
-2 fatores (x+2)>0 e os outros dois são negativos → dois negativos → produto positivo
1 (x-3)<0 é negativo → produto negativo
x>3: todos positivos → produto positivo

Passo 4

Com base nesse estudo de sinais, escrevemos a função módulo de forma piecewise. Sempre que P(x) for negativo, tiramos o menos na frente.

Passo 5

final_answer_choice

Resposta

|x^3-2x^2-5x+6|= -(x^3-2x^2-5x+6), & x<-2, x^3-2x^2-5x+6, & -2<= x<= 1, -(x^3-2x^2-5x+6), & 1<= x<= 3, x^3-2x^2-5x+6, & x>= 3

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