Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
e^y sen x d x-cos ^2 x d y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
e^y,sin x,dx ;-;cos^2x,dy ;=;0
O conteúdo é identificar que podemos separar em funções de y e de x e depois integrar cada lado.

Passo 2

Reescrevendo em forma separável temos
e^y,sin x,dx ;=;cos^2x,dy

Passo 3

Colocamos todos os termos em y de um lado e em x do outro, dividindo por cos^2x,e^y:
dye^y ;=; sin xcos^2x,dx
Note que 1/e^y=e^-y, então a integral em y será de e^-y.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral e^-y,dy ;=;integral sin xcos^2x,dx

Passo 5

Calculamos cada integral:
  1. Lado esquerdo:
    integral e^-y,dy = -,e^-y
  2. Lado direito: use u=cos x, logo du=-sin x,dx. Assim
    integral sin xcos^2x,dx =integral -duu^2 =1u =sec x
Portanto obtemos
-,e^-y = sec x + C

Passo 6

Reescrevendo a solução na forma implícita mais comum, definindo C'=-C, fica
e^-y + sec x = C',
ou, isolando y,
e^-y=C' - sec x Longrightarrow y = -lnl(C' - sec xr)

Resposta

A solução geral pode ser dada implicitamente por
boxed,e^-y + sec x = C,
ou explicitamente por
boxed,y = -lnl(C - sec xr),

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