Classifique (estável, assintoticamente estável, instável, indiferente, isolado) o comportamento do campo linear A na origem, nos casos seguintes:
(d) (ccc-1 & 2 & 0 -2 & -1 & 0 0 & 0 & 0)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o ponto de equilíbrio da origem do sistema linear dot x = A,x, onde
A = -1 & 2 & 0 -2 & -1 & 0 0 & 0 & 0
O conteúdo que vamos usar é a classificação de equilíbrios lineares via autovalores de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Como A é bloco diagonal em 2times 2 e 1times 1,
chi(lambda)=det(A-lambda I) =det-1-lambda & 2-2 & -1-lambdatimes(-lambda)
No bloco 2times 2,
det-1-lambda & 2-2 & -1-lambda =(!-1-lambda)^2 - (2)(-2) =(lambda+1)^2+4 =lambda^2+2lambda+5
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chi(lambda)=-lambdal(lambda^2+2lambda+5r)

Passo 3

As raízes do polinômio são
lambda1,2 = -1 pm 2,i, lambda3 = 0
Os autovalores lambda1,2 têm parte real -1<0, o que gera um foco espiral atraente no plano xy. Já lambda3=0 indica uma direção neutra ao longo do eixo z.

Passo 4

Em direções do plano xy as soluções são atraídas para a origem, mas na direção z não há atração nem repulsão: a componente z inicial permanece constante. Assim a origem é estável em Lyapunov (não se afasta se começarmos perto) mas não é assintoticamente estável (não se atrai para z=0 a não ser que já começasse em z=0). Esse comportamento é chamado de equilíbrio indiferente (ou estabilidade marginal).

Resposta

O ponto da origem é indiferente (estável porém não assintoticamente estável).

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