Classifique (estável, assintoticamente estável, instável, indiferente, isolado) o comportamento do campo linear A na origem, nos casos seguintes:
(c) (cc1 & 2 2 & -2)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o ponto de equilíbrio na origem do sistema linear dot x = A x, com
A = 1 & 2 2 & -2 .
Para isso, vamos usar o critério de estabilidade baseado nos autovalores de A: calculamos a traça, o determinante, obtemos o polinômio característico e identificamos o tipo de equilíbrio.

Passo 2

Calculamos a traça e o determinante de A:
tr(A) = 1 + (-2) = -1,
det(A) = 1cdot(-2) - 2cdot2 = -2 - 4 = -6

Passo 3

O polinômio característico de A é
lambda^2 - tr(A),lambda + det(A) = lambda^2 + lambda -6 = 0
Resolvendo,
lambda = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Logo os autovalores são
lambda1 = 2 e lambda2 = -3.

Passo 4

Como há um autovalor positivo ( 2) e um negativo ( -3), o ponto de equilíbrio é um ponto de sela. Em pontos de sela, existe uma direção em que as soluções crescem exponencialmente e outra em que decaem, o que torna o equilíbrio instável.

Resposta

Instável.

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