Classifique (estável, assintoticamente estável, instável, indiferente, isolado) o comportamento do campo linear A na origem, nos casos seguintes:
(e) (ccc-1 & 2 & 0 -2 & -1 & 0 0 & 0 & -1)

Passo 1

O enunciado pede a classificação do comportamento do campo linear definido por A na origem, para a matriz
A = -1 & 2 & 0 -2 & -1 & 0 0 & 0 & -1
O conteúdo envolve estabilidade de sistemas lineares: basta analisar os autovalores de A. Se todos tiverem parte real negativa, a origem é assintoticamente estável; se algum tiver parte real positiva, é instável; se todos tiverem parte real não positiva com pelo menos um zero, é indiferente; etc.

Passo 2

Determinamos os autovalores de A. Como A é bloco-diagonal, há um bloco 2times2 e um valor isolado. Para
M = -1 & 2 -2 & -1 ,
o polinômio característico é
det(M - lambda I) =(-1-lambda)^2 - (2)(-2) =lambda^2 + 2lambda +5,
cuja solução é
lambda1,2 = -1 pm 2i
O bloco 1times1 dá o terceiro autovalor
lambda3 = -1

Passo 3

Verificamos as partes reais:
Re(lambda1,2) = -1 < 0, Re(lambda3) = -1 < 0
Como todos os autovalores têm parte real negativa, a origem é um sumidouro (sink) linear, logo o sistema é assintoticamente estável.

Resposta

Assintoticamente estável.

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