Qual o sistema de aproximação linear para
dotx & =F1(x, y), doty & =F2(x, y),
quando F1 e F2 tem expansões em séries de Taylor convergentes
& F1(x, y)=sum ai j x^i y^j & F2(x, y)=sum bi j x^i y^j
numa vizinhança de (0,0) que se anulam na origem?

Passo 1

O enunciado pede a aproximação linear de um sistema autônomo
dotx=F1(x,y), doty=F2(x,y),
em torno do ponto de equilíbrio (0,0). O conteúdo é linearização de sistemas não-lineares usando a expansão de Taylor até a ordem 1, isto é, usando a matriz jacobiana avaliada em (0,0).

Passo 2

Como F1 e F2 têm séries de Taylor convergentes que se anulam na origem, escrevemos
F1(x,y)=a10,x+a01,y+(termos de ordem >=2),
F2(x,y)=b10,x+b01,y+(termos de ordem >=2),
onde
a10=partial F1partial x(0,0), a01=partial F1partial y(0,0),
b10=partial F2partial x(0,0), b01=partial F2partial y(0,0)

Passo 3

Para obter a aproximação linear desprezamos todos os termos de ordem >=2. Assim, o sistema aproximado fica
dotx=a10,x+a01,y, doty=b10,x+b01,y

Resposta

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