Classifique (estável, assintoticamente estável, instável, indiferente, isolado) o comportamento do campo linear A na origem, nos casos seguintes:
(f) (cccc0 & -1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 0)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a estabilidade da origem no sistema linear
dot x = A,x
com
A= 0 & -1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 0
Para isso, precisamos encontrar os autovalores de A e usar o critério de estabilidade para sistemas lineares.

Passo 2

Note que A é bloco-diagonal com dois blocos 2times2:
B1=0 & -11 & 0, B2=0 & -1-1 & 0
Os autovalores de A são a união dos autovalores de B1 e de B2.

Passo 3

Para B1 temos o polinômio característico
det(B1-lambda I) =det-lambda & -11 & -lambda =lambda^2+1=0,
logo os autovalores são
lambda=pm i
Para B2 temos
det(B2-lambda I) =det-lambda & -1-1 & -lambda =lambda^2-1=0,
logo
lambda=pm1
Assim, o espectro de A é +i,,-i,,+1,,-1.

Passo 4

Como há um autovalor lambda=+1 com parte real positiva, a origem não pode ser estável nem assintoticamente estável. A presença de lambda=+1 faz o sistema divergir em certas direções, caracterizando um ponto de sela com comportamento instável.

Resposta

O ponto de equilíbrio na origem é instável.

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