Classifique os extremantes locais de f(x, y)=-2 x^3+y^3+6 x-3 y+16 quanto a máximo, mínimo local e sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar os pontos extremos locais da função $ f(x, y) = -2x^3 + y^3 + 6x - 3y + 16 $ em máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e análise da matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
f
x
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
y
fx = partial fpartial x = -6x^2 + 6
Portanto, os pontos críticos são: $ (1, 1) $, $ (1, -1) $, $ (-1, 1) $, e $ (-1, -1) $.

Passo 3

Agora, vamos classificar esses pontos usando a matriz Hessiana, que envolve as derivadas segundas da função.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -12x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
A matriz Hessiana $ H $ é então:
H
O determinante da Hessiana é:
H = fxx & fxy fxy & fyy = -12x & 0 0 & 6y

Passo 4

Vamos analisar cada ponto crítico usando o valor de $ D $:
  1. Ponto (1, 1):
    D
    Quando $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
  2. Ponto (1, -1):
    D = -72 cdot 1 cdot 1 = -72 < 0
    Além disso, $ f_{xx} = -12(1) = -12 < 0 $, indicando um máximo local.
  3. Ponto (-1, 1):
    D < 0
    Aqui, $ f_{xx} = -12(-1) = 12 > 0 $, indicando um mínimo local.
  4. Ponto (-1, -1):
    D = -72 cdot 1 cdot (-1) = 72 > 0
    Novamente, $ D < 0 $ significa que é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos extremos locais da função são:
  • $ (1, 1) $: Ponto de sela
  • $ (1, -1) $: Máximo local
  • $ (-1, 1) $: Mínimo local
  • $ (-1, -1) $: Ponto de sela

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