Classifique os extremantes locais de
quanto a máximo, mínimo local e sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar os pontos extremos locais da função $ f(x, y) = -2x^3 + y^3 + 6x - 3y + 16 $ em máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e análise da matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos cada derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto, os pontos críticos são: $ (1, 1) $, $ (1, -1) $, $ (-1, 1) $, e $ (-1, -1) $.
Passo 3
Agora, vamos classificar esses pontos usando a matriz Hessiana, que envolve as derivadas segundas da função.
Primeiro, calculamos as derivadas segundas:
A matriz Hessiana $ H $ é então:
O determinante da Hessiana é:
Passo 4
Vamos analisar cada ponto crítico usando o valor de $ D $:
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Ponto (1, 1):Quando $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
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Ponto (1, -1):Além disso, $ f_{xx} = -12(1) = -12 < 0 $, indicando um máximo local.
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Ponto (-1, 1):Aqui, $ f_{xx} = -12(-1) = 12 > 0 $, indicando um mínimo local.
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Ponto (-1, -1):Novamente, $ D < 0 $ significa que é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos extremos locais da função são:
- $ (1, 1) $: Ponto de sela
- $ (1, -1) $: Máximo local
- $ (-1, 1) $: Mínimo local
- $ (-1, -1) $: Ponto de sela