Classifique e faça um esboço da quádrica abaixo. Determine os principais elementos da seção plana
, onde
é a quádrica e
é o plano dados abaixo.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádricade
e pede (a) sua classificação e esboço e (b) os elementos principais da seção plana
com
.
Para classificar usamos identificação de sinais dos termos quadráticos e isolamos ; para a seção substituímos
em
e reconhecemos a cônica resultante.
Para classificar usamos identificação de sinais dos termos quadráticos e isolamos
Passo 2
Reescrevendo
isolando
temos
Note que há um termo positivo em
e negativo em
, ambos de mesma ordem parabólica em
. Isso caracteriza uma paraboloide hiperbólica (surface de sela), pois para retas
vemos parábolas voltadas para baixo em
e para
parábolas voltadas para cima em
.
Passo 3
Para a seção com o plano
substituímos em
:
Reescrevendo em forma padrão de parábola:
Logo a seção é uma parábola de vértice em
no plano
, com concavidade voltada para valores menores de
.
Passo 4
Comparando
vemos
.
- Vértice:
. - Foco: está a distância
ao longo do eixo da parábola (direção decrescente de ), ou seja
- Diretriz: é a reta em que
, portanto
- Eixo da parábola: reta que passa por
e , isto é
Passo 5
Esboço qualitativo:
-
é um paraboloide hiperbólico (sela) aberto em e conforme descrito em Passo 2. - A interseção
é uma parábola no plano , com vértice em , concavidade voltada para baixo e foco em .
Resposta
Classificação: paraboloide hiperbólico.
Seção é uma parábola dada por
Seção
com vértice em
, foco em
, diretriz
e eixo
.