Classifique e faça um esboço da quádrica abaixo. Determine os principais elementos da seção plana Q cap pi, onde Q é a quádrica e pi é o plano dados abaixo.
Q:-x^24+y^2=4 z, pi: y=2.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricade
Q:;-,x^24+y^2=4,z
e pede (a) sua classificação e esboço e (b) os elementos principais da seção plana
;Qcappi com
pi:y=2.
Para classificar usamos identificação de sinais dos termos quadráticos e isolamos z; para a seção substituímos y=2 em Q e reconhecemos a cônica resultante.

Passo 2

Reescrevendo Q isolando z temos
4,z=-x^24+y^2 Longrightarrow z=y^24-x^216
Note que há um termo positivo em y^2 e negativo em x^2, ambos de mesma ordem parabólica em z. Isso caracteriza uma paraboloide hiperbólica (surface de sela), pois para retas y=const vemos parábolas voltadas para baixo em x e para x=const parábolas voltadas para cima em y.

Passo 3

Para a seção com o plano pi:y=2 substituímos em z=tfracy^24-tfracx^216:
z=2^24-x^216 =1-x^216
Reescrevendo em forma padrão de parábola:
z-1=-x^216 Longrightarrow x^2=-16,l(z-1r)
Logo a seção é uma parábola de vértice em (x,z)=(0,1) no plano y=2, com concavidade voltada para valores menores de z.

Passo 4

Comparando
x^2=-4,p,(z-1) com x^2=-16,(z-1),
vemos 4,p=16implies p=4.
  • Vértice: V=(0,2,1).
  • Foco: está a distância p=4 ao longo do eixo da parábola (direção decrescente de z), ou seja
F=(0,2,,1-4)=(0,2,-3)
  • Diretriz: é a reta em que z-1=+p, portanto
z=1+4=5, y=2
  • Eixo da parábola: reta que passa por V e F, isto é
x=0, y=2

Passo 5

Esboço qualitativo:
  • Q é um paraboloide hiperbólico (sela) aberto em x e y conforme descrito em Passo 2.
  • A interseção picap Q é uma parábola no plano y=2, com vértice em (0,2,1), concavidade voltada para baixo e foco em (0,2,-3).

Resposta

Classificação: paraboloide hiperbólico.
Seção Qcappi é uma parábola dada por
x^2=-16,(z-1), y=2,
com vértice em (0,2,1), foco em (0,2,-3), diretriz z=5 e eixo x=0,;y=2.

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