P 6.8. Existe um subconjunto de R^3 linearmente independente sobre o corpo Q mas linearmente dependente sobre o corpo R ?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um conjunto SsubsetR^3 que seja linearmente independente quando consideramos escalares em Q, mas que seja linearmente dependente quando permitimos escalares em R. O conteúdo aqui é a noção de independência linear de um mesmo conjunto em dois espaços vetoriais distintos, um sobre o corpo Q e outro sobre o corpo R. Para resolver, vamos usar um par de vetores cuja razão seja um número irracional.

Passo 2

Escolhemos o conjunto
S = lv1,v2r com v1 = (1,0,0), ;v2 = (raiz2,0,0)
Claramente SsubsetR^3.

Passo 3

Mostramos que S é linearmente independente sobre Q. Suponha que existam q1,q2inQ tais que
q1,v1 ;+; q2,v2 ;=;(0,0,0)
Isso dá a equação em R
q1cdot 1 ;+; q2cdot raiz2 ;=;0
Como raiz2 é irracional, a única solução em Q para
;q1 + q2raiz2=0
é q1=0 e q2=0. Logo S é Q-linearmente independente.

Passo 4

Agora vemos que S é linearmente dependente sobre R. Basta notar a combinação não trivial
raiz2,v1 ;-; 1cdot v2 ;=;( raiz2cdot1 - raiz2,,0,,0 ) ;=;(0,0,0),
em que os coeficientes raiz2 e -1 são números reais, não ambos nulos. Portanto S é R-linearmente dependente.

Resposta

Sim. Por exemplo,
S = (1,0,0),,(raiz2,0,0)
é linearmente independente sobre Q mas linearmente dependente sobre R.

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