P 6.8. Existe um subconjunto de
linearmente independente sobre o corpo
mas linearmente dependente sobre o corpo
?
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um conjunto
que seja linearmente independente quando consideramos escalares em
, mas que seja linearmente dependente quando permitimos escalares em
. O conteúdo aqui é a noção de independência linear de um mesmo conjunto em dois espaços vetoriais distintos, um sobre o corpo
e outro sobre o corpo
. Para resolver, vamos usar um par de vetores cuja razão seja um número irracional.
Passo 2
Escolhemos o conjunto
Claramente
.
Passo 3
Mostramos que
é linearmente independente sobre
. Suponha que existam
tais que
Isso dá a equação em
Como
é irracional, a única solução em
para
é e
. Logo
é
-linearmente independente.
é
Passo 4
Agora vemos que
é linearmente dependente sobre
. Basta notar a combinação não trivial
em que os coeficientes
e
são números reais, não ambos nulos. Portanto
é
-linearmente dependente.
Resposta
Sim. Por exemplo,
é linearmente independente sobre
mas linearmente dependente sobre
.