2 Determine a equação da superfície gerada pela rotação da parábola z & =y^2+1 x & =0 em torno do eixo Y.

Passo 1

O enunciado dá a parábola que no espaço está definida por
x = 0, z = y^2 + 1,
e pede a superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo Y. Para resolver, vamos usar o conceito de revolução de curvas: cada ponto da curva gera um círculo de raios iguais à sua distância ao eixo de rotação.

Passo 2

Parametrizamos a superfície usando como parâmetros o próprio y da parábola e um ângulo thetain[0,2pi). Num ponto da parábola temos r = z = y^2+1 como distância ao eixo Y. Ao girar, as coordenadas ficam
x = rcostheta = (y^2+1)costheta, y = y, z = rsintheta = (y^2+1)sintheta

Passo 3

Para escrever em forma cartesiana, eliminamos theta usando
x^2 + z^2 = l((y^2+1)costhetar)^2 + l((y^2+1)sinthetar)^2 = (y^2+1)^2l(cos^2theta + sin^2thetar) = (y^2+1)^2

Resposta

A equação da superfície de revolução é
x^2 + z^2 = (y^2 + 1)^2

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