4 Considere o hiperboliode de uma folha
. Determine as retas contidas em
que passam pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado pede as retas contidas no hiperbolóide de uma folha
que passam pelo ponto
. Essa superfície é um hiperbolóide de uma folha, que sabemos conter duas famílias de geratrizes (retas). Para achar explicitamente essas retas, vamos parametrizar uma reta genérica por
e impor que todo ponto dela satisfaça a equação de
.
Passo 2
Considere uma reta
por
com vetor diretor
, parametrizada por
Substituímos essa parametrização na equação de
e exigimos que a identidade resultante em
seja verdadeira para todo
.
Passo 3
Substituindo em
vem
Expandindo e coletando as potências de
, o termo em
se anula porque
já está em
. Restam as condições nos coeficientes de
e de
:
Passo 4
Reescrevendo a segunda equação como
e usando da primeira
, substituímos na anterior:
Dessa maneira surgem dois casos:
- Caso 1:
. - Caso 2:
.
Passo 5
Caso 1 (
): da primeira equação
. Escolhendo
(qualquer múltiplo só escala o parâmetro), temos
e
Caso 2 (
): então
e
. Tomando
para simplificar,
e
Resposta
As duas retas em
que passam por
são