4 Considere o hiperboliode de uma folha S: 4 x^2-y^24+z^2=4. Determine as retas contidas em S que passam pelo ponto P=(1,2,1) in S.

Passo 1

O enunciado pede as retas contidas no hiperbolóide de uma folha
4x^2-y^24+z^2=4
que passam pelo ponto P=(1,2,1)in S. Essa superfície é um hiperbolóide de uma folha, que sabemos conter duas famílias de geratrizes (retas). Para achar explicitamente essas retas, vamos parametrizar uma reta genérica por P e impor que todo ponto dela satisfaça a equação de S.

Passo 2

Considere uma reta L por P com vetor diretor v=(a,b,c), parametrizada por
(x,y,z)=(1+at,;2+bt,;1+ct)
Substituímos essa parametrização na equação de S e exigimos que a identidade resultante em t seja verdadeira para todo t.

Passo 3

Substituindo em
4x^2-y^24+z^2-4=0
vem
4(1+at)^2-(2+bt)^24+(1+ct)^2-4=0
Expandindo e coletando as potências de t, o termo em t^0 se anula porque P já está em S. Restam as condições nos coeficientes de t^1 e de t^2:
8a - b +2c = 0,
4a^2 - b^24 + c^2 = 0

Passo 4

Reescrevendo a segunda equação como
16a^2 +4c^2 = b^2,
e usando da primeira b=8a+2c, substituímos na anterior:
(8a+2c)^2 =16a^2+4c^2 ;Longrightarrow;64a^2+32ac+4c^2=16a^2+4c^2 ;Longrightarrow;48a^2+32ac=0 ;Longrightarrow;16a(3a+2c)=0
Dessa maneira surgem dois casos:
  • Caso 1: a=0.
  • Caso 2: 3a+2c=0.

Passo 5

Caso 1 ( a=0): da primeira equação b=2c. Escolhendo c=1 (qualquer múltiplo só escala o parâmetro), temos v1=(0,2,1) e
L1:;x=1, y=2+2t, z=1+t
Caso 2 ( 3a+2c=0): então c=-tfrac3a2 e b=8a+2c=5a. Tomando a=2 para simplificar, v2=(2,10,-3) e
L2:;x=1+2t, y=2+10t, z=1-3t

Resposta

As duas retas em S que passam por P são
L1:;(x,y,z)=(1,2,1)+t,(0,2,1), L2:;(x,y,z)=(1,2,1)+t,(2,10,-3)

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